100-mal aus 30 Karten mit Zurücklegen ziehen

21/12/2010 - 01:00 von Stephan Gerlach | Report spam
Neulich hatte ich mit einem Schüler den Versuch

"Man ziehe aus 30 numerierten Karten mit den Nummern
1, 2, ..., 29, 30
100-mal mit Zurücklegen eine Karte und notiere die auf der Karte
befindliche Zahl."

Der Schüler wunderte sich, daß wàhrend der 100 Ziehungen bestimmte der
30 Karten gar nicht vorkamen. Ich wollte daraufhin ausrechnen, wie
wahrscheinlich das Ereignis

A_0 = "Es gibt mindestens 1 Karte, die wàhrend der 100 Ziehungen niemals
vorkommt"

ist; aber fand auf die Schnelle keinen einfach verstàndlichen
Rechenweg. Zumindest die Erwartungswerte der Zufallsvariablen

X_0 = Anzahl der Karten, die genau 0-mal gezogen werden
X_1 = Anzahl der Karten, die genau 1-mal gezogen werden
...
X_30 = Anzahl der Karten, die genau 30-mal gezogen werden

lassen sich relativ einfach berechnen. Z.B. ist
E(X_0) = 1,011103404,
d.h. man muß im Schnitt mit einer Karte rechnen, die gar nicht gezogen
wird. Den höchsten Erwartungswert aller X_k hat übrigens X_3 mit
E(X_3) = 6,703654126.
(Übungsaufgabe: Man leite diese Ergebnisse ausführlich her ;-) .)

PS: Für die Summe muß natürlich E(Summe aller X_k) = 30 gelten.

Für die Wahrscheinlichkeit P(A_0) fàllt mir jedoch kein "schöner"
einfacher Rechenweg ein, außer die relativ umstàndliche (wenn auch
altbekannte) Rechnung

P(A_0) = Summe_{k=1 bis 30} (-1)^(k-1)*(30 über k)*((30-k)/30)^100

welche am Ende zu
P(A_0) = 0,6651364401
führt, falls ich nix falsch in den Rechner eingetippt habe.

Fàllt dazu jemandem ein einfacherer Rechenweg ein?



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Detlef Müller
21/12/2010 - 20:42 | Warnen spam
Stephan Gerlach schrieb:
Neulich hatte ich mit einem Schüler den Versuch

"Man ziehe aus 30 numerierten Karten mit den Nummern
1, 2, ..., 29, 30
100-mal mit Zurücklegen eine Karte und notiere die auf der Karte
befindliche Zahl."

Der Schüler wunderte sich, daß wàhrend der 100 Ziehungen bestimmte der
30 Karten gar nicht vorkamen. Ich wollte daraufhin ausrechnen, wie
wahrscheinlich das Ereignis

A_0 = "Es gibt mindestens 1 Karte, die wàhrend der 100 Ziehungen niemals
vorkommt"

ist; aber fand auf die Schnelle keinen einfach verstàndlichen
Rechenweg. Zumindest die Erwartungswerte der Zufallsvariablen



Meine Idee wàre über das Gegenereignis:
Betrachten wir Wörter der Lànge n (Ziehungen) mit
Buchstaben aus {1,...,k}.

Wir suchen die Anzahl A(k,n) von Wörtern mit k Buchstaben und
Lànge n, in denen jeder der Buchstaben mindestens ein mal
vorkommt.

Dann ist erstmal A(1,n)=1.
Weiter ist A(k,1)=k.

Und für k,n > 1 überlegen wir: Der erste Buchstabe kommt
vor, und zwar u>=1 mal, dafür gibt es (n über u) Möglichkeiten,
für die restlichen k-1 Buchstaben gibt es dann auf den verbleibenden
n-u Positionen A(k-1,n-u) Möglichkeiten.
Damit erhalten wir die Rekursionsgleichung

A(k,n) = Summe_{u=1..n-k+1}[(n über u)*A(k-1,n-u)]

A(30,100) làsst sich dann mit dem gleichen Ergebnis wie unten mit der
(mir nicht bekannt gewesenen) aufgeführten Formel rekursiv
ausrechnen (ohne CAS eher làstig).

Diesen Zugang finde ich zumindest verstàndlich, die unten aufgeführte
Formel hat aber sicher auch eine kombinatorische Interpretation, die
ich nicht wirklich gesucht habe.
Die Rekursion hier ist sicher komplizierter, aber für mich
verstàndlich :)

...
Für die Wahrscheinlichkeit P(A_0) fàllt mir jedoch kein "schöner"
einfacher Rechenweg ein, außer die relativ umstàndliche (wenn auch
altbekannte) Rechnung

P(A_0) = Summe_{k=1 bis 30} (-1)^(k-1)*(30 über k)*((30-k)/30)^100

welche am Ende zu
P(A_0) = 0,6651364401
führt, falls ich nix falsch in den Rechner eingetippt habe.




Der Wert ergibt sich auch. Mit Mathematica als CAS
ergibt sich:

A[1,n_]:=1;
A[k_,1]:=k;
A[k_,n_]:=A[k,n]Sum[Binomial[n,u]*A[k-1,n-u],{u,1,n-k+1}]

In[22]:= N[1-A[30, 100]/30^100, 10]

Out[22]= 0.6651364401

Gruß,
Detlef
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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