2 besondere endliche Summen

26/05/2013 - 19:53 von Stephan Gerlach | Report spam
Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Kennt dann jemand die folgende
endliche Summe:

S_n := Summe{k=1 bis n} k * n^(n-k) * (n-1)!/(n-k)!

Irgendwie scheint da S_n = n^n rauszukommen. Das kann man glaube ich
dadurch beweisen, indem man sukzessive Summanden zusammenfaßt:
Die Summanden mit den Indizes n und n-1 zusammenfassen, geeignet
Ausklammern;
nun die Summanden mit den Indizes n, n-1 und n-2 zusammenfassen,
geeignet Ausklammern usw.

Eine àhnliche Summe ist:

E_n := Summe{k=1 bis n} k^2 * n^(n-k) * (n-1)!/(n-k)!

Der Unterschied zu S_n ist der, daß bei E_n k^2 statt k steht.
Ich glaube, daß man E_n darstellen kann als

E_n = Summe{k=1 bis n} n^(n-k+1) * (n-1)!/(n-k)!

Ist evtl. mindestens eine der beiden Summen S_n und E_n in irgendeinem
Zusammenhang bekannt? Gibt es für E_n (wie es für S_n geht)
möglicherweise eine einfachere Darstellung?



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Roland Franzius
27/05/2013 - 07:26 | Warnen spam
Am 26.05.2013 19:53, schrieb Stephan Gerlach:
Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Kennt dann jemand die folgende
endliche Summe:

S_n := Summe{k=1 bis n} k * n^(n-k) * (n-1)!/(n-k)!



Man sollte konstante Terme aus Summen herausziehen

n^n *(n-1)! Sum[ k / (n^k (n - k)!), {k, 1, n}]

Die Summe ergibt tatsàchlich 1/(n-1)!


Die allgemeine Formal kann man möglicherweise herleiten aus


f[m_, n_, u_] = Sum[1/(n - k)! E^( -u k), {k, 1, n - s}]

->

-(1/n!) + (E^n^u (n^u)^-n Gamma[1 + n, n^u])/n! - (
E^n^u n^((-n + s) u) (n^u)^-s Gamma[s, n^u])/(-1 + s)!


g = Limit[f[m, n, u], s -> 0]

->
-((1 - E^E^u (E^u)^-n Gamma[1 + n, E^u])/Gamma[1 + n])
per Ableitung nach u und Limes u->1 nach Multiplikation mit 1/Log[n]

h = Assuming[{u, n, m, s} \[Element] Integers,
FullSimplify[ D[g, u]]]


->

Limit[h, u -> Log[n]]

-(n/Gamma[1 + n])


Roland Franzius
(E^(-n u) (-E^((1 + n) u) + E^E^u (E^u - n) Gamma[1 + n, E^u]))/Gamma[
1 + n]

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