2 Funktionen, eine davon asymptotische Annäherung für die andere

14/05/2015 - 01:46 von Stephan Gerlach | Report spam
Gegeben seien 2 reellwertige Funktionen f und g.
f: R -> R
g: R -> R.
Was bedeuten eigentlich genau die Formulierungen
"f verhàlt sich asymptotisch wie g" bzw.
"f und g sind asymptotisch àquivalent" bzw.
"f nàhert sich g asymptotisch an" bzw.
"f ist eine asymptotische Annàherung für g"?

Bisher war ich immer der Meinung, das bedeute

lim_{x -> unendlich} f(x)/g(x) = 1.

In Worten: Der Quotient geht gegen 1.


Ist evtl. aber manchmal auch gemeint

lim_{x -> unendlich} f(x)-g(x) = 0.

In Worten: Die Differenz geht gegen 0?


Beispiele dazu: Die Funktionen
f(x) = 1/x
g(x) = 1/x^2
wàren nach "Quotienten-Asymptotik" *nicht* àquivalent, nach
"Differenz-Asymptotik" aber schon. Anschaulich sieht es tatsàchlich so
aus, als würden sich die Funktionsgraphen immer mehr annàhern.

Die Funktionen
f(x) = x
g(x) = x+1
wàren hingegen nach Quotienten-Asymptotik àquivalent, nach
Differenz-Asymptotik aber wiederum nicht. Anschaulich nàhern sich die
Funktionsgraphen nicht so richtig an.


D.h. aus keiner der beiden Asymptotik-Arten folgt die jeweils andere.
Was ist die "übliche" Sichtweise?


JFTR: Es ist klar, daß Variante 1 eine relative Annàherung beschreibt,
wàhrend Variante 2 eine absolute Annàherung beschreibt.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Detlef Müller
19/05/2015 - 12:21 | Warnen spam
On 14.05.2015 01:46, Stephan Gerlach wrote:
Gegeben seien 2 reellwertige Funktionen f und g.
f: R -> R
g: R -> R.
Was bedeuten eigentlich genau die Formulierungen
"f verhàlt sich asymptotisch wie g" bzw.
"f und g sind asymptotisch àquivalent" bzw.
"f nàhert sich g asymptotisch an" bzw.
"f ist eine asymptotische Annàherung für g"?

Bisher war ich immer der Meinung, das bedeute

lim_{x -> unendlich} f(x)/g(x) = 1.



Das habe ich nun im Mathe Lexikon nachgeschlagen
("Lexikon der Mathematik Gesamtwerk",
2003 Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg)

Und dort steht genau dieses als definierende Eigenschaft für
"asymptotisch gleiche Funktionen" ... gut, dass ich
nachgeschaut habe, denn ...


[...]

lim_{x -> unendlich} f(x)-g(x) = 0.




... so wird im selben Lexikon "Asymptote" definiert.
Im Wortlaut:
"Kurve, oft eine Gerade, der die
Punkte einer anderen Kurve, die durch eine auf
ganz R definierte Parametergleichung α(t) gegeben
ist, für t → ±∞ beliebig nahe kommen. "
...
Wenn man die Grafen über die x-Werte parametrisiert,
dürfte das eher zur absoluten Sichtweise passen.


D.h. aus keiner der beiden Asymptotik-Arten folgt die jeweils andere.
Was ist die "übliche" Sichtweise?



In der Tat - und ich hàtte "Asymptotisch gleich" so verwendet, dass
die Grafen von f und g zueinander Asymptoten im Lexikon-Sinne sind,
weil mir das kohàrent scheint mit dem Begriff der Asymptote,
wie ich ihn in der Schule gelernt habe ...

egal, was mir da logisch erscheint: Die relative Definition ist dann
wohl die übliche ("korrekte").

Da muß ich dann wohl ein Skript überarbeiten, in dem ich (wo
Polynomdivision behandelt wird) sinngemàß sage, wegen

(x^3-2x)/(x-1) = x^2+x+1 + 1/(x-1),

ist (da 1/(x-1) --> 0, |x|--> oo)

(x^3-2x)/(x-1) asymptotisch gleich x^2+x+1 ...

das suggeriert ja, daß (x^3-2x)/(x-1) nicht asymptotisch
zu x^2 àquivalent ist (was nach Lexikon-Def der Fall ist).

Die "absolute Äquivalenz" (hier zu x^2+x+1, nicht aber zu x^2)
ist also Äquivalenz bezüglich einer anderen Äquivalenzrelation.

Gruß,
Detlef

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