2D-Gradient auf Kugeloberfläche

11/11/2011 - 13:02 von Karlo Janos | Report spam
Hallo,

ich habe einen Datensatz von Höhenangaben der Erdoberflàche. Die
Funktionszuordnung lautet also H(theta,phi), wobei theta und phi
Kugelkoordinaten sein sollen, die sich aus den Breiten- und
Làngengraden der Erde ausrechnen lassen.
Nun möchte ich gerne den Gradienten herleiten, mit dem man bei einer
kontinuierlichen (also nicht diskreten) Funktion die stàrkste
Höhenànderung an jedem Punkt auf der Oberflàche ausrechnen kann. Zu
Beginn meiner Überlegungen hielt ich das noch für eine simple Aufgabe.
Zwar ist es keine Zauberei, aus der Literatur die Beschreibung des
Nabla-Operators in Kugelkoordinaten herauszufinden, aber dabei handelt
es sich ja um 3D-Koordinaten.
Mich interessiert aber lediglich die maximale Höhenànderung auf der
_Kugeloberflàche_, also in 2 Dimensionen!
Und der naive Ansatz, einfach die Funktion H(theta,phi) einzeln nach
theta und nach phi abzuleiten, gibt mir zwar die Richtungsableitungen
in theta- und phi-Richtung, aber eben nicht den Betrag der _maximalen_
Höhenànderung an einem bestimmten Punkt auf der Oberflàche, die ja
irgendwo zwischen der theta- und phi-Richtung liegen kann.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wie man korrekterweise ansetzen
muss?
MfG

Karlo
 

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#1 Jan Fricke
11/11/2011 - 14:39 | Warnen spam
On 11/11/2011 01:02 PM, Karlo Janos wrote:
Hallo,

ich habe einen Datensatz von Höhenangaben der Erdoberflàche. Die
Funktionszuordnung lautet also H(theta,phi), wobei theta und phi
Kugelkoordinaten sein sollen, die sich aus den Breiten- und
Làngengraden der Erde ausrechnen lassen.
Nun möchte ich gerne den Gradienten herleiten, mit dem man bei einer
kontinuierlichen (also nicht diskreten) Funktion die stàrkste
Höhenànderung an jedem Punkt auf der Oberflàche ausrechnen kann. Zu
Beginn meiner Überlegungen hielt ich das noch für eine simple Aufgabe.
Zwar ist es keine Zauberei, aus der Literatur die Beschreibung des
Nabla-Operators in Kugelkoordinaten herauszufinden, aber dabei handelt
es sich ja um 3D-Koordinaten.
Mich interessiert aber lediglich die maximale Höhenànderung auf der
_Kugeloberflàche_, also in 2 Dimensionen!
Und der naive Ansatz, einfach die Funktion H(theta,phi) einzeln nach
theta und nach phi abzuleiten, gibt mir zwar die Richtungsableitungen
in theta- und phi-Richtung, aber eben nicht den Betrag der _maximalen_
Höhenànderung an einem bestimmten Punkt auf der Oberflàche, die ja
irgendwo zwischen der theta- und phi-Richtung liegen kann.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wie man korrekterweise ansetzen
muss?



Du muss die unterschiedlichen Làngen der Koordinatenrichtungen beachten.
Glücklicherweise sind die beiden hier orthogonal, da ist es etwas einfacher.

Sei E das Quadrat der Norm von d/d theta und G das von d/d phi ist, dann
àndert sich das Verhàltnis der theta- und phi- Richtung um den Faktor
E/G gegenüber dem "normale" Gradienten.


Viele Grüße Jan

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