3^n-2^m=17

05/03/2011 - 10:25 von Wolfgang Kirschenhofer | Report spam
Hallo Freunde der Mathemtik!

Finde alle positiven Zahlen n und m, für die
3^n - 2^m = 17 gilt.
Diese Aufgabe ist wesentlich leichter zu lösen,
als die àhnliche von "Rainer aus dem Spring"
in de.rec.denksport gestellte.

Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer
 

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#1 mock
05/03/2011 - 23:14 | Warnen spam
On 5 Mrz., 10:25, Wolfgang Kirschenhofer
wrote:
Hallo Freunde der Mathemtik!

Finde alle positiven Zahlen n und m, für die
3^n - 2^m = 17 gilt.
Diese Aufgabe ist wesentlich leichter zu lösen,
als die àhnliche von "Rainer aus dem Spring"
in de.rec.denksport gestellte.



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Was jetzt kommt ist etwas umstàndlich und kann sicher optimiert
werden.

3^n-2^m

Durch Ausprobieren findet man als kleinste Lösung n = 4 und m = 6.

Das ist auch die einzige:

Endziffern

2er-Potenzen: 2, 4, 8, 6
3er-Potenzen: 3, 9, 7, 1

17 ist eine Primzahl, also kann sie nur durch eine Quadratdifferenz
(9^2-8^2) dargestellt werden. Dadurch fallen alle Fàlle weg, bei denen
m und n gerade sind.

3^(3+4*k), k ∊ ℕ₀, ist ebenfalls nicht möglich, weil die Einerstelle
dieser Zahlen 7 ist und es gibt keine 2er-Potenz, die mit 0 endet.
2^(3+4*k) fàllt auch heraus, weil keine 3er-Potenz auf 5 endet.

Es bleibt die Potenz 3^(1+4*k) und die geraden Potenzen von 3, wenn m
ungerade ist. Dadurch fallen auch 3^(4+4*k) und 2^(2+4*k), weil die
beiden Möglichkeiten einander bedingen wegen der Endziffer von 17.

Also bleiben 3^(1+4*k)-2^(4+4*l) oder 3^(2+4*k)-2^(1+4*l), l ∊
ℕ₀.

17 ist binàr 10001. Alle binàren Zahlen 3^(1+4*k) enden jedoch auf 11
und alle 3^(2+4*k) auf 1001, so kann die Differenz nie auf ...00000
enden. Damit ist die letzte Hoffnung auf weitere m und n verschwunden.

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