3 Fragen zu Relationen

11/03/2013 - 14:54 von Rudolf Sponsel | Report spam
Hallo Kundige,

1) Ähnlichkeit, Gleichheit und Äquivalenz.
Ähnlichkeit ist wie die Gleichheit reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Wodurch unterscheiden sich sich dann die drei?

2a) Gibt es eine Liste nicht zusammengesetzter, "elementarer" Relationen?
2b) Wie könnte man elementare Relationen definieren?

Vielen Dank für Hinweise.

Rudolf Sponsel, Erlangen
 

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#1 Helmut Richter
11/03/2013 - 15:56 | Warnen spam
On Mon, 11 Mar 2013, Rudolf Sponsel wrote:

1) Ähnlichkeit, Gleichheit und Äquivalenz.
Ähnlichkeit ist wie die Gleichheit reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Wodurch unterscheiden sich sich dann die drei?



Diese drei Eigenschaften sind konstitutiv für Äquivalenz, d.h. eine
Relation heißt eine Äquivalenzrelation, wenn sie diese Eigenschaften hat.

Dann gibt es noch Kongruenz bezüglich einer Funktion oder einem Pràdikat:
Wenn aus x~y folgt, dass f(x)~f(y), heißt ~ eine Kongruenzrelation bzgl. f.
Das folgt aber im allgemeinen nicht schon aus der Äquivalenz.

Gleichheit ist noch mehr: das ist Kongruenz bzgl. allem: *überall* darf
man etwas durch etwa Gleiches ersetzen, ohne dass es falsch wird.

In folgenden Threads wurde das breit diskutiert:
2001: https://groups.google.com/forum/?hl...omgroups=#!topic/schule.mathe/1HsByazU4OE
2003: Diskussion hinsichtlich des deutschen Sprachgebrauchs; nicht mehr von
Google gefunden, deshalb Auszug hier:

Beginn Zitat aus

Die Geschichte mit den Merkmalen oben hat mich darauf gebracht, dass
die Begriffe in der Mathematik und im richtigen Leben verschieden
verwendet werden:

Mathematik Leben Definition

Äquivalenz Ähnlichkeit stimmen in einigen Merkmalen überein
Kongruenz Gleichheit stimmen in allen Merkmalen überein, auf
die es im Zusammenhang ankommt
Gleichheit Identitàt sind allenfalls verschiedene Namen für
dasselbe
Identitàt (gibts eigentlich gar nicht; siehe meinen
letzten Beitrag)

(Die Begriffe "Ähnlichkeit" und "Kongruenz" aus der Euklidischen
Geometrie, wie sie in der Schule betrieben wird, sind Spezialfàlle des
mathematischen Begriffs "Äquivalenz" und haben mit den Wörten
"Ähnlichkeit" und "Kongruenz" in der Tablle nicht viel zu tun.)

Ende Zitat

2a) Gibt es eine Liste nicht zusammengesetzter, "elementarer" Relationen?
2b) Wie könnte man elementare Relationen definieren?



Keine Ahnung; da müsste man vorher definieren, wann eine Relation elementar
heißt und auf welche Weise sie zusammengesetzt sein können. Insofern bilden
die Relationen eine algebraische Struktur mit algebraischen Eigenschaften; die
gewöhnliche Zusammensetzung aRSb <=> es gibt x mit aRx und xSb wàre etwa
assoziativ. Daneben gibt es mengentheoretische Operationen und transitive
Hüllen. Die zugrundelegende algebraische Struktur bildet eine
"Kleene-Algebra".

Helmut Richter

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