n>3 nicht möglich

12/07/2012 - 13:22 von Vogel | Report spam




Für die Einheitsvektoren in einem n-dimensionalen Raum gilt paarweise:




e_i*e_j = 0; i,j = 1...n




sowie:




e_i*e_i = 1




Für (n-1) Dimensionen existieren (n-1)*(n-2)/2 Ebenen E_ij auf welche
'e_n' orthogonal ist.




Jeder Vektor r_ij orthogonal zu 'e_n' muss also notwendigerweise in einer
dieser Ebenen liegen, denn sonst würde er eine eigene Dimension
darstellen:




E_ij: r_ij = a_i*ei + a_j*ej




r_ij*e_n = 0




Es gibt jedoch mindestens (n-1)*(n-2)*(n-3)/6 Vektoren r_ijk, welche
orthogonal zu e_n sind, aber in keiner der orthogonalen Ebenen zu 'e_n'
liegen:




r_ijk = a_i*e_i + a_j*e_j + a_k*e_k




r_ijk * e_n = 0




Diese würden also zusàtzliche Dimensionen einehmen, welche aber nicht
vorhanden sein können, denn alle möglichen Dimensionen sind bereits durch
die e_i besetzt.




Lediglich im 3D ist dies nicht der Fall. Da ist die Anzahl dieser
überzàhligen, die Dimension störende, Vektoren r_ijk gleich Null.




Ràume mit n>3 sind also überbestimmt und daher unbestimmt.


 

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#1 Jens Voß
13/07/2012 - 10:36 | Warnen spam
On 12 Jul., 13:22, Vogel wrote:
Für die Einheitsvektoren in einem n-dimensionalen Raum gilt paarweise:

e_i*e_j = 0; i,j = 1...n

sowie:

e_i*e_i = 1

Für (n-1) Dimensionen existieren (n-1)*(n-2)/2 Ebenen E_ij auf welche
'e_n' orthogonal ist.

Jeder Vektor r_ij orthogonal zu 'e_n' muss also notwendigerweise in einer
dieser Ebenen liegen, denn sonst würde er eine eigene Dimension
darstellen:

E_ij: r_ij = a_i*ei + a_j*ej

r_ij*e_n = 0

Es gibt jedoch mindestens (n-1)*(n-2)*(n-3)/6 Vektoren r_ijk, welche
orthogonal zu e_n sind, aber in keiner der orthogonalen Ebenen zu 'e_n'
liegen:

r_ijk = a_i*e_i + a_j*e_j + a_k*e_k

r_ijk * e_n = 0

Diese würden also zusàtzliche Dimensionen einehmen



Falsch.

(Auch im |R^2 gibt es Punkte außerhalb der beiden Koordinatenachsen,
und auch diese "nehmen keine zusàtzlichen Dimensionen ein".)

Gruß,
Jens

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