3 Vektoren a, b, c, alle Winkel dazwischen gegeben, Winkel zwischen a×b und c gesucht

07/12/2011 - 01:57 von Stephan Gerlach | Report spam
Vorhin kam mir folgende Aufgabe unter (sinngemàß aus dem Gedàchtnis):

"Gegeben seien die 3 Vektoren a, b, c, die eine Pyramide mit 3-seitiger
Grundflàche aufspannen (a und b sollen die Grundflàche bilden). Gegeben
seien die Winkel
alpha = Winkel zwischen a und b
beta = Winkel zwischen b und c
gamma = Winkel zwischen a und c
und die Làngen der Vektoren |a|, |b| und |c|.
Aufgabe: Berechne den Winkel delta zwischen c und der durch a und b
aufgespannten Ebene (oder auch den Winkel zwischen dem Vektorprodukt a×b
und c, was letztenendes ebenfalls zu delta führt)."

Dir Lösung der Aufgabe soll offenbar mit Hilfe der Vektorrechnung geschehen.
Ich sollte vielleicht dazu sagen, daß in der Aufgabe von (beliebigen)
Eckpunkten A, B, C, D die Rede war (die seien gegeben) und nicht von
"Kanten-Vektoren" a, b, c. Wobei mir die Verwendung von a, b, c statt
der Punkte einfacher erschien.
Weiterhin sollte ich erwàhnen, daß alpha, beta und gamma als 60°
vorausgesetzt wurden sowie |a| = |b| = |c| gilt, sprich: Es handelt sich
um ein Tetraeder.

Natürlich kommt man bzw. Schüler relativ schnell zum Lösungsansatz

sin(delta) = (a×b)*c / (|a×b|*|c|),

wobei man im Nenner |a×b| durch |a|*|b|*sin(alpha) ersetzen kann. Im
Zàhler steht dummerweise das Volumen eines Spats, von dem man zwar die
Grundflàche, aber keine Höhe h gegeben hat. Natürlich könnte man
naiverweise auf die Idee kommen, die Höhe mittels
h = |c|*sin(delta)
auszurechnen, aber delta ist ja gerade gesucht. Im Fall des
Tetraeders(!) habe ich dann vorgeschlagen, einfach die Formel für das
Volumen des Tetraeders als bekannt vorauszusetzen und ver-6-facht im
Zàhler einzusetzen.
Wobei ich nicht weiß, ob wirklich das als Lösung gemeint war.

Zudem hilft diese Lösungsvariante überhaupt nicht weiter, wenn die
gegebenen Winkel nicht alle 60° sind. In diesem Fall bràuchte man also
z.B. eine Formel für das Volumen des Spats oder dessen Höhe in
Abhàngigkeit der 3 Seitenlàngen und "Eck-Winkel". Eine derartige Formel
herzuleiten (mit Trigonometrie) erscheint mir prinzipiell möglich, aber
ich glaube auch nicht, daß das gemeint war, da mir das zum einen recht
aufwendig erscheint, und zum anderen hat es IMHO nicht direkt mit
Vektorrechnung zu tun.


Frage: Fàllt jemandem hier eine einfachere Lösung dazu ein, die
vorzugsweise durch Verwendung von Vektorprodukt und/oder Skalarprodukt
auskommt?
Kann man das Spatprodukt (a×b)*c irgendwie auf einfache Art und Weise
auf die (im Prinzip gegebenen) Betràge und Skalarprodukte
|a|, |b|, |c|, a*b, a*c, b*c
zurückführen?



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Gottfried Helms
07/12/2011 - 16:06 | Warnen spam
Am 07.12.2011 01:57 schrieb Stephan Gerlach:
Vorhin kam mir folgende Aufgabe unter (sinngemàß aus dem Gedàchtnis):

"Gegeben seien die 3 Vektoren a, b, c, die eine Pyramide mit 3-seitiger
Grundflàche aufspannen (a und b sollen die Grundflàche bilden). Gegeben
seien die Winkel
alpha = Winkel zwischen a und b
beta = Winkel zwischen b und c
gamma = Winkel zwischen a und c
und die Làngen der Vektoren |a|, |b| und |c|.
Aufgabe: Berechne den Winkel delta zwischen c und der durch a und b
aufgespannten Ebene (oder auch den Winkel zwischen dem Vektorprodukt a×b
und c, was letztenendes ebenfalls zu delta führt)."

Dir Lösung der Aufgabe soll offenbar mit Hilfe der Vektorrechnung geschehen.
Ich sollte vielleicht dazu sagen, daß in der Aufgabe von (beliebigen)
Eckpunkten A, B, C, D die Rede war (die seien gegeben) und nicht von
"Kanten-Vektoren" a, b, c. Wobei mir die Verwendung von a, b, c statt
der Punkte einfacher erschien.
Weiterhin sollte ich erwàhnen, daß alpha, beta und gamma als 60°
vorausgesetzt wurden sowie |a| = |b| = |c| gilt, sprich: Es handelt sich
um ein Tetraeder.

Natürlich kommt man bzw. Schüler relativ schnell zum Lösungsansatz

sin(delta) = (a×b)*c / (|a×b|*|c|),

wobei man im Nenner |a×b| durch |a|*|b|*sin(alpha) ersetzen kann. Im
Zàhler steht dummerweise das Volumen eines Spats, von dem man zwar die
Grundflàche, aber keine Höhe h gegeben hat. Natürlich könnte man
naiverweise auf die Idee kommen, die Höhe mittels
h = |c|*sin(delta)
auszurechnen, aber delta ist ja gerade gesucht. Im Fall des
Tetraeders(!) habe ich dann vorgeschlagen, einfach die Formel für das
Volumen des Tetraeders als bekannt vorauszusetzen und ver-6-facht im
Zàhler einzusetzen.
Wobei ich nicht weiß, ob wirklich das als Lösung gemeint war.

Zudem hilft diese Lösungsvariante überhaupt nicht weiter, wenn die
gegebenen Winkel nicht alle 60° sind. In diesem Fall bràuchte man also
z.B. eine Formel für das Volumen des Spats oder dessen Höhe in
Abhàngigkeit der 3 Seitenlàngen und "Eck-Winkel". Eine derartige Formel
herzuleiten (mit Trigonometrie) erscheint mir prinzipiell möglich, aber
ich glaube auch nicht, daß das gemeint war, da mir das zum einen recht
aufwendig erscheint, und zum anderen hat es IMHO nicht direkt mit
Vektorrechnung zu tun.


Frage: Fàllt jemandem hier eine einfachere Lösung dazu ein, die
vorzugsweise durch Verwendung von Vektorprodukt und/oder Skalarprodukt
auskommt?
Kann man das Spatprodukt (a×b)*c irgendwie auf einfache Art und Weise
auf die (im Prinzip gegebenen) Betràge und Skalarprodukte
|a|, |b|, |c|, a*b, a*c, b*c
zurückführen?




Das sieht aus wie die Cholesky-dekomposition der Kovarianzmatrix
A. Wobei die A durch die Korrelationsmatrix R und die Làngen |a|, |b|, |c|
gegeben ist und R als
[ 1 cos(a,b) cos(a,c) ]
[ cos(a,b) 1 cos(b,c) ]
[ cos(a,c) cos(b,c) 1 ]
gegeben ist.

Wir bekommen dann die Cholesky-matrix L
[1 0 0 ] * |a|
[cos(a,b) l22 0 ] * |b|
[cos(a,c) l32 l33 ] * |c|
die noch zeilenweise mit den bekannten Làngen multipliziert werden muß.
(Ich glaube, das war so einfach, müßte ich aber noch mal nachsehen, das
Prinzip dürfte jedenfalls brauchbar sein, wenn ich Deine Aufgabe
richtig verstanden habe. Die l22,l32,l33 Werte ergeben sich aus
der Cholesky-Berechnung selbst. Der Winkel phi zwischen c und der
Ebene sollte dann gegeben sein, indem l33 interpretiert werden kann
als l33 = sin(phi) . (|c| wird dabei eigentlich gar nicht gebraucht,
die Angaben der drei gegebenen Winkel reicht eigentlich aus)

Das wàre mal eine Skizze der Idee, so würde ich jedenfalls mal
anfangen. Im Kontext der Frage bei Vektorrechnung in der Schule
ist dieser Ansatz aber vielleichtr gar nicht machbar?

Gruß -

Gottfried

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