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§ 417 Eine Konsequenz des aktual Unendlichen

09/01/2014 - 08:44 von WM | Report spam
Jede Menge S_n der Folge

S_1 = {1}
S_2 = {1} U {2}
S_3 = {1} U {2} U {3}
...

ergibt sich als Vereinigung von {n} und {1, 2, 3, ..., n-1}. Unendlich viele Vereinigungen führen zu unendlich vielen Mengen, doch keine Menge enthàlt unendlich viele (alle) natürlichen Zahlen. Vielmehr fehlen in jeder der Mengen unendlich viele.

Nochmals: Die Folge enthàlt unendlich viele Vereinigungen. Mit jeder wàchst die Menge der darin enthaltenen natürlichen Zahlen. Doch die Menge |N aller natürlichen Zahlen ist als Grenzwert einer streng monoton wachsenden Folge nicht in der Folge enthalten.

Vereinigen wir aber alle Folgenglieder S_n (also alle Fehlversuche, |N zu erzeugen) ohne irgendetwas hinzuzufügen, dann erhalten wir die Menge |N aller natürlichen Zahlen.

Das ist eine Konsequenz des aktual Unendlichen. Ist sie akzeptabel?

Gruß, WM
 

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#1 Rainer Rosenthal
09/01/2014 - 09:29 | Warnen spam
Am 09.01.2014 08:44, schrieb WM:
Jede Menge S_n der Folge

S_1 = {1}
S_2 = {1} U {2}
S_3 = {1} U {2} U {3}
...

ergibt sich als Vereinigung von {n} und {1, 2, 3, ..., n-1}. Unendlich viele Vereinigungen führen zu unendlich vielen Mengen, doch keine Menge enthàlt unendlich viele (alle) natürlichen Zahlen. Vielmehr fehlen in jeder der Mengen unendlich viele.

Nochmals: Die Folge enthàlt unendlich viele Vereinigungen. Mit jeder wàchst die Menge der darin enthaltenen natürlichen Zahlen. Doch die Menge |N aller natürlichen Zahlen ist als Grenzwert einer streng monoton wachsenden Folge nicht in der Folge enthalten.

Vereinigen wir aber alle Folgenglieder S_n (also alle Fehlversuche, |N zu erzeugen) ohne irgendetwas hinzuzufügen, dann erhalten wir die Menge |N aller natürlichen Zahlen.

Das ist eine Konsequenz des aktual Unendlichen. Ist sie akzeptabel?



Nicht nur das, das ist sogar banabel.

Vereinigung{n=1..oo)( Vereinigung{k=1..n} ( {k} ) )
=
Vereinigung{n=1..oo)( {n} )
|N

Letztere Gleichung ist die Definition von |N.
Die erste Gleichung zeigt man, wie man immer Mengengleichheit zeigt.
Sei x in der Menge von Zeile 1, die eine Vereinigung von Mengen ist.
Dann liegt x in mindestens einer dieser Mengen. Es gibt also ein n
aus |N, so dass x in der Vereinigung einelementiger Mengen liegt.
x liegt also in einem {k}, mit 1 <= x <= n. Also ist x = k und somit
in |N.
Ist umgekehrt x Element von |N, dann ist es in {x} und somit auch
in Vereinigung{k=1..x} ( {k} ), also in der Menge von Zeile 1.

Gutes Neues,
Rainer

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