4er-Kreiskette

15/03/2009 - 11:41 von Armin Saam | Report spam
Ich bemühe mich seit langem - leider ohne den abschließenden Erfolg - um die
Lösung des folgenden Problems:

Es seien die Radien von 4 Kreisen (r1, ...,r4) einer Kreiskette gegeben, das
heißt: Jeder tangiere seine beiden Nachbarkreise (zyklisch). Jeder der
Kreise tangiere einen Kreis mit dem Radius r. Welche Beziehung gilt dann
zwischen den Radien dieser 5 Kreise?

Für 3er-Kreisketten löst die Soddy-Formel das Problem. Für 4er-Kreisketten
habe ich bisher nichts in der Literatur gefunden. Mir scheint das aber eine
recht reizvolle Erweiterung von 'Soddy' zu sein.

Zu jedem vorgegebenen Quadrupel (r1,r2,r3,r4) gibt es zwei Lösungen für r,
da die Kette den Grundkreis von außen oder von innen tangieren kann. Ferner
beachte man, dass im Falle, wo die 4 Kreise den Grundkreis von außen
berühren, auch der Sonderfall einer Geraden mit eingeschlossen ist (r =
unendlich), weshalb wohl das Operieren mit Krümmungen (k = 1/r) zu einer
bündigeren Formel führen dürfte. Zudem ist zu erwarten, dass die Krümmungen
verschiedene Vorzeichen haben können, je nachdem die außen liegenden Kreise
der Kette den Grundkreis umschließen oder nicht.

Gibt es in der Literatur etwas zu diesem Problem? Oder: Kann mir einer gar
eine Lösung skizzieren?

Gruß
Armin Saam
 

Lesen sie die antworten

#1 Rainer Rosenthal
15/03/2009 - 14:10 | Warnen spam
Armin Saam schrieb:
Ich bemühe mich seit langem - leider ohne den abschließenden Erfolg - um die
Lösung des folgenden Problems:

Es seien die Radien von 4 Kreisen (r1, ...,r4) einer Kreiskette gegeben, das
heißt: Jeder tangiere seine beiden Nachbarkreise (zyklisch). Jeder der
Kreise tangiere einen Kreis mit dem Radius r. Welche Beziehung gilt dann
zwischen den Radien dieser 5 Kreise?

Für 3er-Kreisketten löst die Soddy-Formel das Problem. Für 4er-Kreisketten
habe ich bisher nichts in der Literatur gefunden. Mir scheint das aber eine
recht reizvolle Erweiterung von 'Soddy' zu sein.



...
Gibt es in der Literatur etwas zu diesem Problem? Oder: Kann mir einer gar
eine Lösung skizzieren?



Ein exzellenter Kenner der Materie ist David W. Cantrell, der
als Regular in sci.math postet. Bitte stelle doch Deine Frage
in jener Newsgruppe ebenfalls. Sicher antworten dort David, den
Du ja gezielt ansprechen kannst, aber ebenso sicher wird sich
auch Philippe mit toller Theorie melden, vielleicht gar hier in dsm.

Schönen Gruss,
Rainer

Ähnliche fragen