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abgeschlossene Hyperebene und stetiges Funktional

20/10/2008 - 19:02 von Andreas Meier | Report spam
Hallo,

ich beschàftige mich momentan mit folgendem Problem.

Sei X ein topologischer Vektorraum und l ein lineares Funktional. Eine
Hyperebene ist definiert durch H_a={x\in X: l(x)=a}.

Ich will zeigen: l ist genau dann stetig, wenn H_a für alle a abgeschlossen
ist.

Die eine Richtung (Stetigkeit ==> Abgeschlossenheit) ist einfach.

Für die Rückrichtung kann ich bisher elementar nur zeigen, dass l
folgenstetig ist. Im Fall, dass X für jeden Punkt eine abzàhlbare
Umgebungsbasis besitzt, folgt daraus die Stetigkeit.

Mein Ansatz für den allgemeinen Fall bisher: H_a ist abgeschlossen, also ist
X\H_a offen. X\H_a ist gleich der Vereinigung von H_a- :={x\in X: l(x)<a}
und H_a+ :={x\in X: l(x)>a}.
Wenn ich zeigen kann, dass H_a- und H_a+ offen sind, bin ich fertig, denn
dann ist das Urbild eines offenen Intervalles (a,b) (a<b) gleich H_a+
geschnitten mit H_b-, also der Schnitt zweier offener Mengen und somit
offen. Also ist das Urbild jedes offenen Intervalls offen und somit das
Urbild jeder offenen Menge, da die offenen Intervallen eine Basis der
Topologie sind.

Ich bin für jeden Hinweis dankbar.

Viele Grüße

Andreas
 

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#1 Martin Vaeth
21/10/2008 - 08:35 | Warnen spam
Andreas Meier schrieb:

Sei X ein topologischer Vektorraum und l ein lineares Funktional. Eine
Hyperebene ist definiert durch H_a={x\in X: l(x)=a}.

Ich will zeigen: l ist genau dann stetig, wenn H_a für alle a abgeschlossen
ist.



Rein aus der Erinnerung (und ich gebe die Literaturquelle aus meiner
Erinnerung nicht an, da ich vermute, dass es sich um eine Übungsaufgabe
handelt):

Es genügt sogar, dass H_a für ein a nicht dicht liegt in X.

Die Idee ist zu zeigen, dass es eine Nullumgebung mit beschrànktem Bild gibt.

Hinweise wie das geht:

Folgere aus der Nicht-Dichtheit und Linearitàt zunàchst, dass es eine
Nullumgebung gibt, deren Bild nicht der ganze Körper ist.
O.B.d.A. sei diese balanciert...

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