Abgeschlossene vs. offene Einheitskugel im normierten Raum

28/04/2009 - 23:40 von Stephan Gerlach | Report spam
Gibt es eigentlich einen normierten (R- oder C-)Vektorraum X mit
folgenden beiden Eigenschaften:
(i) Die abgeschlossene Einheitskugel in X ist *nicht* kompakt.
(ii) Die offene Einheitskugel in X ist pràkompakt.

Auf alle Fàlle müßte ein solcher Raum X unendlich-dimensional und
unvollstàndig sein (da fallen also schonmal eine ganze Menge Ràume
weg...); mir fàllt nur grade keiner ein. Auch wenn man als X den
Vektorraum der sogenannten finiten Folgen (X besteht aus Vektoren mit
beliebig vielen, aber endlich vielen Eintràgen !=0; als Norm die
Supremums-Norm) nimmt, scheint das nicht zu funktionieren. Dieser X ist
zwar unvollstàndig, unendlich-dimensional und erfüllt (i), aber wie's
aussieht nicht (ii).
Oder schließen sich (i) und (ii) sogar aus? Mir fiel nur kein passender
Beweis (der dürfte eigentlich, falls sich (i) und (ii) tatsàchlich
ausschließen, ja nicht so schwer sein) ein.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Volker Boie
29/04/2009 - 14:21 | Warnen spam
On 28 Apr., 23:40, Stephan Gerlach
wrote:
Gibt es eigentlich einen normierten (R- oder C-)Vektorraum X mit
folgenden beiden Eigenschaften:
(i) Die abgeschlossene Einheitskugel in X ist *nicht* kompakt.
(ii) Die offene Einheitskugel in X ist pràkompakt.

Auf alle Fàlle müßte ein solcher Raum X unendlich-dimensional und
unvollstàndig sein (da fallen also schonmal eine ganze Menge Ràume
weg...); mir fàllt nur grade keiner ein. Auch wenn man als X den
Vektorraum der sogenannten finiten Folgen (X besteht aus Vektoren mit
beliebig vielen, aber endlich vielen Eintràgen !=0; als Norm die
Supremums-Norm) nimmt, scheint das nicht zu funktionieren. Dieser X ist
zwar unvollstàndig, unendlich-dimensional und erfüllt (i), aber wie's
aussieht nicht (ii).
Oder schließen sich (i) und (ii) sogar aus? Mir fiel nur kein passender
Beweis (der dürfte eigentlich, falls sich (i) und (ii) tatsàchlich
ausschließen, ja nicht so schwer sein) ein.

 > Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)



Gehe in (ii) auf die Vervollstàndigung über, dann ist in der die
abgeschlossene Einheitskugel kompakt.
[ Wenn {x_1,...,x_n} ein e/2-netz von der offenen einheitskugel ist,
ist {x_1,...,x_n}
ein e-netz von der abgeschlossenen Einheitskugel in der
Vervollstàndigung.]

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