Abgeschlossenheitsaxiom

25/01/2010 - 19:40 von ram | Report spam
Ich betrachte einmal eine Mengenlehre mit 2 Axiomen:

1) {} ist eine Menge.
2) {2} ist eine Menge.

Darin ist offensichtlich der folgende Satz beweisbar:

A) {2} ist eine Menge.

Aber der folgende Satz nicht?

B) {3} ist keine Menge.

Ich könnte aber Satz B beweisbar machen¹, wenn ich noch
ein Axiom 3 hinzufüge:

3) Alles, das nicht nach Axiom 1 oder 2 eine Menge
ist, ist keine Menge.

Oder

3') Nur etwas, das gemàß Axiom 1 oder 2 eine Menge
ist, ist eine Menge.

Oder

3'') Durch die obigen Axiome sind alle Mengen
vollstàndig beschriebe.

Ich nenne solch ein Axiom »Abgeschlossenheitsaxiom«,
nach der »Abgeschlossenheit« im Sinne von

http://de.wikipedia.org/wiki/Closed...assumption

. Aber solch ein Axiom fehlt in den meisten mit bekannten
Axiomensystem, etwa auch in ZF. Das würde bedeuten, daß ich
in ZF+Urelemente (falls so etwas möglich ist), dann im
allgemeinen nicht beweisen kann, daß ein Urelement keine
Menge ist.

Warum fehlt solch ein Axiom?

Wird es als »selbstverstàndlich« angenommen?

1) Na gut, ich bràuchte auch noch ein Axiom, das es
mir erlaubt, die Aussage »3 ist ungleich 2.« herzuleiten.
 

Lesen sie die antworten

#1 fiesh
25/01/2010 - 20:00 | Warnen spam
On 2010-01-25, Stefan Ram wrote:
Ich betrachte einmal eine Mengenlehre mit 2 Axiomen:

1) {} ist eine Menge.
2) {2} ist eine Menge.

Darin ist offensichtlich der folgende Satz beweisbar:

A) {2} ist eine Menge.

Aber der folgende Satz nicht?

B) {3} ist keine Menge.



Ohne Definition, was "{", "}", "2" bedeuten sollen ("ist eine Menge" ist
wohl ein einstelliges Praedikat?), ist erstmal gar nichts klar, und
mathematisch kann man erst recht nichts betrachten.

. Aber solch ein Axiom fehlt in den meisten mit bekannten
Axiomensystem, etwa auch in ZF. Das würde bedeuten, daß ich
in ZF+Urelemente (falls so etwas möglich ist), dann im
allgemeinen nicht beweisen kann, daß ein Urelement keine
Menge ist.

Warum fehlt solch ein Axiom?



Weil es in ZF keine Urelemente (ausser, je nach Ansicht, der leeren
Menge) gibt. Alles ist Menge. Um Urelemente zu definieren, muss man
die Extensionalitaet einschraenken.

fiesh

Ähnliche fragen