Ableitung einer Zahl

01/07/2011 - 18:25 von Jan Fricke | Report spam
Hallo,
inspiriert durch die Beitràge von Benno Hartwig und Helmut Richter (und
transpiriert durch meine umstàndliche Lösung ;-) ) bin ich zu folgender
interessanter Funktion gekommen:

Es sei b eine natürliche Zahl, dann kann man jeder reellen Zahl x aus
[0,1) die b-adische Entwicklung zuordnen, d.h.

x = x_1 / b^1 + x_2 / b^2 + ... + b_k / b^k + ...,

wobei 0 =< x_k < b und unendlich viele x_k < b-1 (verbotene
"Neunerperiode"). Dann ist die b-Ableitung f_b(x) von x:

f_b(x) = 1 * x_1 / b^1 + 2 * x_2 / b^2 + ... + k * x_k / b^k + ...

Ist irgendjemandem so eine Funktion schon mal untergekommen? Die sieht
so ein bisschen nach Entropie aus. Sie ist stetig, außer in Punkten der
Form x = a/b^k.

Hier noch eine andere Darstellung:

f_b(x) = {x} + {x * b}/b + {x * b^2}/b^2 + ... + {x * b^k}/b^k +...,

wobei {y} der gebrochene Anteil von y ist.

Der Graph dieser Funktion sieht recht bizarr aus, das wird ein richtig
schönes Fraktal. Für b=2 bekommt man aus den Funktionalgleichungen

f_2(x/2) = (x + f_2(x)) / 2
und
f_2((1+x)/2) = (x + 1 + f_2(x)) / 2,
dass der Graph der Attraktor des IFS

(x,y) |-> (x/2, (x+y)/2)
(x,y) |-> ((x+1)/2, (x+1+y)/2)

ist.


Viele Grüße Jan
 

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#1 Vogel
01/07/2011 - 19:33 | Warnen spam
Jan Fricke wrote in news:4e0df473$1
@news.uni-siegen.de:

Hallo,
inspiriert durch die Beitràge von Benno Hartwig und Helmut Richter (und
transpiriert durch meine umstàndliche Lösung ;-) ) bin ich zu folgender
interessanter Funktion gekommen:

Es sei b eine natürliche Zahl, dann kann man jeder reellen Zahl x aus
[0,1) die b-adische Entwicklung zuordnen, d.h.

x = x_1 / b^1 + x_2 / b^2 + ... + b_k / b^k + ...,

wobei 0 =< x_k < b und unendlich viele x_k < b-1 (verbotene
"Neunerperiode").



Wo ist jetzt das Kunststück?

Dann ist die b-Ableitung f_b(x) von x:

f_b(x) = 1 * x_1 / b^1 + 2 * x_2 / b^2 + ... + k * x_k / b^k + ...

Ist irgendjemandem so eine Funktion schon mal untergekommen? Die sieht
so ein bisschen nach Entropie aus. Sie ist stetig, außer in Punkten der
Form x = a/b^k.

Hier noch eine andere Darstellung:

f_b(x) = {x} + {x * b}/b + {x * b^2}/b^2 + ... + {x * b^k}/b^k +...,



Wie kommt man da drauf?

wobei {y} der gebrochene Anteil von y ist.



Welcher {y}?

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