Abschaetzung fuer statistische Differeny

19/08/2008 - 18:44 von Bernd Schneider | Report spam
Hi,

ich habe nochmal eine Frage zu einer Abschaetzung einer statistischen
Differenz.
Seien X0, X1 zwei Zufallsvariablen definiert ueber A. Die statistische
Differenz Diff(X0;X1) ist definiert wie folgt:
Diff(X0;X1) := 1/2\sum_{x \in A}|Pr[X0=x]-Pr[X1=x]|.

Sei U eine Zufallsvariable mit Gleichverteilung ueber A und U' eine
Zufallsvariable ueber (A,A). Ferner sei Y eine weitere beliebige
Zufallsvariable. Wieso (falls es nicht gilt, was fuer Annahmen muss ich
ueber die Zufallsvariablen machen) gilt:
Diff(X0,X1,Y;U,X1,Y) <= Diff(X0,X1,Y;U',Y)
Offensichtlich gilt Gleichheit wenn X1 auch gleichverteilt ist ueber A,
aber gilt es auch generell oder gibt es noch andere Faelle in denen es
gilt?

Vielen Dank und Gruesse,
Bernd
 

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#1 Roland Franzius
19/08/2008 - 18:55 | Warnen spam
Bernd Schneider schrieb:
Hi,

ich habe nochmal eine Frage zu einer Abschaetzung einer statistischen
Differenz.
Seien X0, X1 zwei Zufallsvariablen definiert ueber A. Die statistische
Differenz Diff(X0;X1) ist definiert wie folgt:
Diff(X0;X1) := 1/2\sum_{x \in A}|Pr[X0=x]-Pr[X1=x]|.

Sei U eine Zufallsvariable mit Gleichverteilung ueber A und U' eine
Zufallsvariable ueber (A,A). Ferner sei Y eine weitere beliebige
Zufallsvariable. Wieso (falls es nicht gilt, was fuer Annahmen muss ich
ueber die Zufallsvariablen machen) gilt:
Diff(X0,X1,Y;U,X1,Y) <= Diff(X0,X1,Y;U',Y)
Offensichtlich gilt Gleichheit wenn X1 auch gleichverteilt ist ueber A,
aber gilt es auch generell oder gibt es noch andere Faelle in denen es
gilt?



Deine statistische Differenz ist die 1-Norm der Differenz der Dichten
der Verteilung.

Für endliche und abzàhlbar unendliche Mengen A bedeutet Differenz 0
Gleicheit der Verteilungfunktionen. Für kontinuierliche Verteilungen mit
Lebesgue-Integral als Maß sind die Dichten gleich bis auf endliche
Unterschiede auf Mengen vom Maß 0, die statistisch nicht nachweisbar wàren.


Roland Franzius

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