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"Abschätzung" der Güte eines Taylorpolynoms?

18/01/2008 - 16:38 von Michael Hagedorn | Report spam
Hallo.
Wenn man eine Taylorentwicklung einer Funktion macht und --sagen wir
mal-- ein Polynom 27. Grades entwickelt, so erhàlt man ja in einem
begrenzten Intervall eine gute Nàherung wohingegen das Polynom für große
|x| dann gegen +/- Unendlich "abhaut". Gibt es ein einfache Möglichkeit,
eine Umgebung um x anzugeben, für das die Nàherung den tatsàchlichen
Funktionswert z.B. auf max. 5 % Abweichung genau trifft?
Danke!
 

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#1 mathemator
18/01/2008 - 17:13 | Warnen spam
Michael Hagedorn wrote:

Hallo.
Wenn man eine Taylorentwicklung einer Funktion macht und --sagen wir
mal-- ein Polynom 27. Grades entwickelt, so erhàlt man ja in einem
begrenzten Intervall eine gute Nàherung wohingegen das Polynom für große
|x| dann gegen +/- Unendlich "abhaut". Gibt es ein einfache Möglichkeit,
eine Umgebung um x anzugeben, für das die Nàherung den tatsàchlichen
Funktionswert z.B. auf max. 5 % Abweichung genau trifft?



Diese Frage kann - in vielen Fàllen - mit Hilfe des Satzes von Taylor
beantwortet werden, der ja gerade eine Aussage über die Differenz von
Funktionswert und Wert des Taylorpolynoms macht. Allerdings ist die
Meinung, dass man in einem begrenzten Intervall eine gute Nàherung
erhàlt, in dieser allgemeinen Form nur richtig, wenn man sich ggf. bei
einem an der Stelle a entwickelten Taylorpolynom mit dem Intervall [a;
a] zufrieden gibt, in diesem Fall natürlich trivialerweise. Wenn z.B.
alle Ableitungen einer Funktion an einer Stelle verschwinden, braucht es
sich z.B. keineswegs um eine konstante Funktion zu handeln; für jedes n
ist das Taylorpolynom n_ten Grades daher gleich schlecht zur
Approximation geeignet.
Nicht jede Taylorreihe honvergiert an jeder Stelle und auch an Stellen
der Konvergenz muss der Reihenwert nicht der Funktionswert sein.

Klaus-R.

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