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Abschluss der Einheitssphäre unter der schwach*-Topologie und M-Räume

26/05/2008 - 21:21 von LenaMalina | Report spam
Hallo!

Mir sind bei dem Lesen eines papers von Prof. A. Wickstead ( Link,
falls bei einigen von euch Zugang besteht:
http://www.springerlink.com/content...lltext.pdf )
bei einem Beweis seines Zusatzes zum Satz von Nakano die Implikationen
"(b)<=>(c)" noch nicht ganz klar. Und zwar deshalb:


Es geht um AM-Ràume, die spezielle Banachverbànde sind (d.h. ihre Norm
hat die Eigenschaft, eine M-Norm zu sein: ||avb|| = max{ ||a||, ||
b||} ).

Man hat den Banach(vektor)verband X, der isometrisch und
ordnungsisomorph zu Co(S) ist (wobei Co(S): der Raum der im
Unendlichen verschwindenden reelwertigen Funktionen auf einem lokal
kompakten Hausdorfschen Raum S).
Das soll àquivalent sein zu:
(1) X ein M-Raum ist und
(2) für jedes Netz von Verbandshomomorphismen (d.h. lineare
Funktionale, die strukturerhalten sind und ordnungserhaltend -
f(xvy)=max{f(x), f(y)}), das, falls sie in der Einheitssphàre des X*
liegen (d.h alle Norm 1 haben) und schwach* gegen ein g konvergieren,
dann ist ||g||=1 oder ||g||=0.


Der Autor benutzt Folgendes: in einem Satz von Kakutani/Bohnenblust
kann man jeden M-Raum als einen abgeschlossenen linearen Unterverband
von C(Q) darstellen, wobei Q ein kompakter Hausd. Raum ist. Es gibt
sogar eine konkrete Darstellung, die da wàre:
Nimm Qo als die Menge aller Verbandshomomorphismen aus S mit der Norm
1.
Nimm Q als schwach*-Abschluss von Qo.
Dann ist X gegeben als { f in C(Q) | f(Wi) = a f(wi) }, wobei Wi, wi
aus S, Wi nicht gleich wi, a nichtnegative reelle Zahl und i aus J
ist, J irgend eine Indexmenge (könnte auch überabzàhlbar sein).


Zu "=>":
Was mir klar ist:
(1) ist klar, daher wissen wir, dass X diese Darstellung als
abgeschlossener linearer Unterverband von C(Q) hat.
(2) mir ist klar, dass die Verbandshomomorphismen schwach* gegen ein g
konvergieren, wobei ||g||=1 oder ||g||=0.

Frage: Warum konvergieren sie nicht gegen ein g mit 0<||g||<1?

Zu "<=":
Was mir unklar ist: In (2) steht ja "dann ist ||g||=1 oder ||g||=0".
Falls es ein Netz mit ||g||=0 gibt, dann kann ich "<=" beweisen.
Aber was ist, wenn ||g||=0 nicht gilt? Ich habe rausgefunden, dass,
laut Satz von Josefson-Nissenbaum, dann (weil schwach*- und
Normkonvergenz zusammenfallen) der Banachverband endlichdimensional
sein muss. Aber irgendwie hilft mir das nicht weiter. Es ist zwar
klar, dass X dann isometrisch isomorph zu irgend einem abg. lin.
Unterverband von C(Q) sein muss, aber warum ausgerechnet zu Co(S)?
D.h. warum verschwinden die Funktionen im Unendlichen (oder in einem
Punkt)?

Ich wàre sehr dankbar für jede Hilfe oder jeden Denkanstoss!
 

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#1 LenaMalina
26/05/2008 - 21:55 | Warnen spam
Zusatzbemerkung: ich habe mich vertan, es heisst nicht "Josefson-
Nissenbaum"-Satz, sondern "Josefson-Nissenzweig".

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