Abzählbar und Überabzählbar für Prof. Mückenheim

11/12/2014 - 23:00 von Peter Kramer | Report spam




Du musst nur begreifen, dass der Unterschied zwischen "abzàhlbar" und
"überabzàhlbar" nichts und aber auch gar nichts, mit der Anzahl der zur
Beschreibung zur Verfügung stehenden Wörtern zu tun hat. Selbst bei
unendlich vielen zur Verfügung stehenden Wörtern kann man die Elemente
einer überabzàhlbaren Menge niemals alle in einer Liste aufführen.




Das hat mit der Topologie von Mengen und der Topologie einer Liste zu
tun. Genaugenommen bedarf es noch nicht einmal der Definition einer
Wohlordnung als Hilfsmittel um "abzàhlbar" und "überabzàhlbar"
voneinander zu unterscheiden. Die Topologie reicht dazu aus.




In einer abzàhlbaren Menge, wie auch in einer Liste, gibt es für jedes
Element eine Umgebung welche kein weiteres Element enthàlt.




In einer überabzàhlbaren Menge gibt es für jedes Element der Menge keine
Umgebung, sei sie noch so klein, welche kein weiteres Element der Menge
enthàlt.




Das heisst, die rellen Zahlen sind niemals alle auf die Menge aller
natürlichen Zahlen, selbst unendlich vielen, abbildbar.




Die natürlichen Zahlen bilden eine unendlich lange Liste.




Abzàhlbare Mengen, wie auch Listen, sind "diskret".




Überabzàhlbare Mengen sind "kontinuum". Genaugenommen enthàlt so eine
Menge gar keine Elemente, sondern nur beliebig kleine Umgebungen.
Es gibt in solchen Mengen keine Umgebung mit nur einem Element. Von der
Existenz eines Elements der Menge kann man daher auch nicht sprechen.
Allerdings wird so eine Menge in ihrer Darstellung, durch Elemente
repràsentiert. Lediglich die Darstellung der Menge enthàlt Elemente.




Man muss daher zwischen der Darstellung reller Zahlen und den rellen
Zahlen selber, unterscheiden. Es gibt keine Darstellung der rellen Zahlen
und sei sie unendlich gross, welche alle reellen Zahlen umfassen würde.




Das was wir niederschreiben wenn wir eine relle Zahl(wie auch jede andere
Zahl) schreiben ist lediglich deren Darstellung nicht die Zahl selber.


 

Lesen sie die antworten

#1 Peter Kramer
12/12/2014 - 06:59 | Warnen spam
Peter Kramer wrote in
news::




Stell dir vor wir machen jeweils eine (unendlich lange) Liste mit
paarweise disjunkten Untermengen aller Elemente der unendlich grossen
Mengen der natürlichen und reellen Zahlen, indem wir (als technische
Erleichterung) in der Liste, z.Bsp. für jede Untermenge das Minor- und
Majorantenelement, "min" und "max" notieren.



Beide Listen sind (unendlich) abzàhlbar und vollstàndig, denn sie lassen
sich auf die Menge der natürlichen Zahlen vollstàndig abbilden.



Abzàhlbar ist eine Menge wenn sie elementweise(also punktweise) auf die
Menge der natürlichen Zahlen vollstàndig abgebildet werden kann.



Liste N: {0-3}, {4-9}, usw.



Die Liste der Untermengen der reellen Zahlen kann genau so aussehen.



Liste R: {0-3}, {4-9}, usw.



Allerdings sind im zweiten Falle auch die Untermengen unendliche
Mengen, ja es gibt sogar keine einzige Untermenge die endlich wàre.



Die Liste der disjunkten Untermengen der natürlichen Zahlen verfeinern
wir nun solange bis jede Untermenge nur noch eine natürliche Zahl
enthàlt und somit "min" und "max" gleich sind. Da die ursprüngliche
Liste abzàhlbar war wird auch diese Liste abzàhlbar sein.



Nun versuchen wir das gleiche mit der disjunkten Liste der Untermengen
der rellen Zahlen. Egal wie weit wir diese abzàhlbare Liste der
Untermengen verfeinern, wird niemals "min" und "max" gleich werden
können, da zwischen zwei reellen Zahlen immer noch weitere existieren.



Aus diesem Grunde ist es also nicht möglich eine vollstàndige
abzàhlbare Liste aller reellen Zahlen zu machen.

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