Algebra: Reduktionskriterium

12/08/2014 - 17:15 von Stephan Gerlach | Report spam
Q := rationale Zahlen
Z := ganze Zahlen
Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natürliche Zahl
Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
(Z/n*Z)[x] := Polynomring über Z/n*Z


Reduktionskriterium (vereinfachte Form)

Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k
ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.

Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen
zufolge dann:
Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel über (Z/n*Z)[x], so ist P
auch irreduzibel über Z[x].

Der Beweis geht wohl einfach so, daß man "P ist reduzibel" in Z[x]
annimmt, also eine Zerlegung P = P1*P1 mit Polynomen P1 und P2 aus Z[x].
Und daraus folgert man dann "P ist reduzibel" in (Z/n*Z)[x].


Soweit, so gut. Jetzt die Frage: Ist die Voraussetzung des
Reduktionskriteriums "n ist eine Primzahl" tatsàchlich erforderlich?
Anders gefragt: Was genau geht im Beweis schief, wenn man diese
Voraussetzung weglàßt?
Noch anders gefragt: Gibt es ein Beispiel für ein Polynom, welches
irreduzibel in (Z/n*Z)[x] ist, aber reduzibel in Z[x]? Dabei müßte ja
definitiv n eine Nicht-Primzahl sein.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Michael Klemm
12/08/2014 - 17:44 | Warnen spam
Stephan Gerlach

Q := rationale Zahlen
Z := ganze Zahlen
Z/n*Z := Restklassenring = {0, 1, 2, ..., n-1} mit n natürliche Zahl
Z[x] := Polynomring ganzzahliger Polynome
(Z/n*Z)[x] := Polynomring über Z/n*Z


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Reduktionskriterium (vereinfachte Form)

Sei P = Summe_{k=0 bis m} a_k * x^k


ein Polynom aus Z[x] mit Leitkoeffizient a_m = 1.
Dann kann man P auffassen als Element von (Z/n*Z)[x], indem man einfach
die Koeffizienden a_k "modulo n" betrachtet.

Die Aussage des Reduktionskriteriums lautet verschiedenen Quellen zufolge
dann:
Ist n eine Primzahl, und ist P irreduzibel über (Z/n*Z)[x], so ist P auch
irreduzibel über Z[x].

Der Beweis geht wohl einfach so, daß man "P ist reduzibel" in Z[x]
annimmt, also eine Zerlegung P = P1*P1 mit Polynomen P1 und P2 aus Z[x].
Und daraus folgert man dann "P ist reduzibel" in (Z/n*Z)[x].


Soweit, so gut. Jetzt die Frage: Ist die Voraussetzung des
Reduktionskriteriums "n ist eine Primzahl" tatsàchlich erforderlich?
Anders gefragt: Was genau geht im Beweis schief, wenn man diese
Voraussetzung weglàßt?



Wenn ich mich richtig erinnere, ist n obdA eine Primzahl, weil man über Z/nZ
im
Nichtprimzahlfall genügend viel weiß.

Gruß
Michael

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