Algebraische Frage

07/02/2009 - 22:52 von christian.palmes | Report spam
Hallo,

ich habe zwei algebraische Fragen:

Sei S_n die Menge der Permutationen auf {1,2,..,n} und F(pi) für pi
elem S_n der Ort des ersten Abstieges, d.h. mit pi(i+1) < pi(i).

In meinem Text steht nun, sei

F_i := sum_pi (über alle pi mit F(pi) = i) sei die formale Summe der
Permutationen mit ersten Abstieg bei i. Ich zitiere nun :

We show that the F_i , 1 <= i <= n span a commutative semisimple
subalgebra of the group algebra of the symmetric group. Thus F_i F_j F_j F_i = sum f_ij^k F_k.

Was soll das bedeuten?

genauer:

- Was ist mit einer formalen Summe der Permutationen gemeint?
- Was ist eine semisimple subalgebra ? Brauche ich dafür nicht
zumindest einmal einen Vektorraum? Wenn ja, was ist hier der
entsprechende Körper?


Dann zu meiner zweiten Frage:

Was bedeutet principal idempotent im Zusammenhang mit einer
diagonalisierbaren Matrix ? Ich kenne nur die Definition idempotent,
in dem Sinne, daß A*A = A. Was soll das principal davor?


Vielen Dank,

Gruß Christian
 

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#1 Roland Franzius
08/02/2009 - 08:24 | Warnen spam
schrieb:
Hallo,

ich habe zwei algebraische Fragen:

Sei S_n die Menge der Permutationen auf {1,2,..,n} und F(pi) für pi
elem S_n der Ort des ersten Abstieges, d.h. mit pi(i+1) < pi(i).

In meinem Text steht nun, sei

F_i := sum_pi (über alle pi mit F(pi) = i) sei die formale Summe der
Permutationen mit ersten Abstieg bei i. Ich zitiere nun :

We show that the F_i , 1 <= i <= n span a commutative semisimple
subalgebra of the group algebra of the symmetric group. Thus F_i F_j > F_j F_i = sum f_ij^k F_k.

Was soll das bedeuten?

genauer:

- Was ist mit einer formalen Summe der Permutationen gemeint?
- Was ist eine semisimple subalgebra ? Brauche ich dafür nicht
zumindest einmal einen Vektorraum? Wenn ja, was ist hier der
entsprechende Körper?




Als Gruppenalgebra bezeichnet man das Objekt aus formalen
Linearkombinationen von Elementen eines Körpers und einer Gruppe mit den
Operationen Addition und Multiplikation, zB eine Algebra wie reelle und
komplexe Cliffordalgebra àußere Algebra oder Matrixalgebra. Addition ist
trivial definiert, Multiplikation per

(a G) o (b H) = (a * b) (G o H)

Kurze Einführung zB hier

http://www.math.hmc.edu/seniorthesi...2-ffts.pdf




Dann zu meiner zweiten Frage:

Was bedeutet principal idempotent im Zusammenhang mit einer
diagonalisierbaren Matrix ? Ich kenne nur die Definition idempotent,
in dem Sinne, daß A*A = A. Was soll das principal davor?



Ein idempotentes Element a ist principal idempotent, wenn für alle
idempotenten b gilt

bab=ba

dh es darf in Produkten idempotenter Elemente über a hinweg gekürzt werden.


Roland Franzius

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