Algebraische Funktionswerte der Sinusfunktion

01/11/2009 - 17:03 von torteloni | Report spam
Der Sinus hat ja diverse algebraische Funktionswerte, wie z.B. sin
(30°)=1/2, sin(45°)=1/2*sqrt(2) und so weiter. Mit sin(36°)=phi/2 (mit
phi=(sqrt(5)-1)/2) findet man dann schließlich mit dem
Additionstheorem und den Symmetrieeigenschaften der Sinusfunktion sin
(3°)«S((√5 - 1)/4·((- √6 - √2)/4) + (√6 - √2)/4·√((√5 + 5)/8))=- √
(3·√5/64 + 15/64) + √(√5/64 + 5/64) + √30/16 + √10/16 - √6/16 - √2/16
(was ja eigentlich auch eine algebraische Zahl sein müsste).

Weitere (exakte) Funktionswerte könnte man dann noch mit dem Sinus des
halben Winkels sin(a/2)=srqt((1-cos(a))/2) ausrechnen. Aber jetzt zur
eigentlichen Frage:

Alle (bis sin(3°)) erhaltenen Funktionswerte sind dann algebraische
Zahlen (die Minimalpolynome dazu zu finden macht zwar bestimmt keinen
Spaß, ist aber zumindest bis sin(3°) bestimmt noch möglich). Sind die
Funktionswerte sin(3°/2^k), wobei k eine beliebige natürliche Zahl
ist, auch noch algebraisch? Und nun die viel wichtigere Frage: Gibt es
noch andere algebraische Funktionswerte?

Vielen Dank!
 

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#1 Jutta Gut
01/11/2009 - 17:36 | Warnen spam
"torteloni" schrieb

Alle (bis sin(3°)) erhaltenen Funktionswerte sind dann algebraische
Zahlen (die Minimalpolynome dazu zu finden macht zwar bestimmt keinen
Spaß, ist aber zumindest bis sin(3°) bestimmt noch möglich). Sind die
Funktionswerte sin(3°/2^k), wobei k eine beliebige natürliche Zahl
ist, auch noch algebraisch?



Natürlich, du hast ja selbst die Formel für sin(a/2) erwàhnt.

Und nun die viel wichtigere Frage: Gibt es
noch andere algebraische Funktionswerte?



Selbstverstàndlich gibt es zu jeder algebraischen Zahl s zwischen -1 und 1
einen Winkel arcsin(s). Nur ist dieser Winkel halt im Allgemeinen kein
rationales (oder algebraisches) Vielfaches von pi, also hast du nicht viel
davon. Oder ahbe ich deine Frage missverstanden?

Grüße
Jutta

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