Algebraische oder kategorielle Situation beim Speicher?

23/08/2007 - 17:36 von ram | Report spam
Sei die Menge der »quartàren Ziffern« Q gleich {0,1,2,3},
deren Teilmenge B gleich {0,1} nenne ich die Menge der
»binàren Ziffern«. Dann gilt die Inklusion

B c Q (B ist Teilmenge von Q).

Nun betrachte ich einen Speicher q*, der sich eine
Quartàrziffer merken kann. Jeder solche Speicher q* kann auch
als Speicher für eine Binàrziffer verwendet werden kann.
Es ist aber nicht umgekehrt möglich, einen beliebigen Speicher
für eine Binàrziffer als Speicher für eine Quartàrziffer zu
verwenden.

Ist B* die Menge der Binàrspeicher und Q* die der
Quartàrspeicher, so gilt also

Q* c B* (Q* ist Teilmenge von B*).

(Jeder Quartettspeicher aus Q* ist auch ein Binàrspeicher,
liegt also in B*.)

Interessant, daß hier die Reihenfolge vertauscht ist, was mich
vage an einen kontravarianten Funktor (von der Kategorie der
Menge mit der Inklusion als Pfeilmenge in die der Speicher mit
der Inklusion) erinnert.

Ich glaube, daß diese Beziehung zwischen Werten und Speichern
allgemein gelten könnte, also daß die Menge der Speicher für
eine /Unter/menge von Werte immer eine /Ober/menge der
Speicher der gesamten Menge ist.

Hat sich jemand schon einmal mit diesem »Speicherfunktor« "*"
beschàftigt?

Sind meine obigen Kategorien überhaupt wohldefiniert und ist
das wirklich ein kontravarianter Funktor oder was ist das,
wenn aus A -> B folgt B* -> A*?

(Anwendungen sind die bekannten Diskussionen in der Informatik
wie »Ist ein Quadrat ein Rechteck oder ein Rechteck ein
Quadrat?« oder »Warum ist List<String> keine Unterklasse von
List<Objekt>?«, die alle auf die mangelnde Unterscheidung
zwischen Werten und Speichern zurückgehen.)
 

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#1 Marc Olschok
23/08/2007 - 20:21 | Warnen spam
Stefan Ram wrote:
Sei die Menge der »quartàren Ziffern« Q gleich {0,1,2,3},
deren Teilmenge B gleich {0,1} nenne ich die Menge der
»binàren Ziffern«. Dann gilt die Inklusion

B c Q (B ist Teilmenge von Q).

Nun betrachte ich einen Speicher q*, der sich eine
Quartàrziffer merken kann. Jeder solche Speicher q* kann auch
als Speicher für eine Binàrziffer verwendet werden kann.
Es ist aber nicht umgekehrt möglich, einen beliebigen Speicher
für eine Binàrziffer als Speicher für eine Quartàrziffer zu
verwenden.

Ist B* die Menge der Binàrspeicher und Q* die der
Quartàrspeicher, so gilt also

Q* c B* (Q* ist Teilmenge von B*).

(Jeder Quartettspeicher aus Q* ist auch ein Binàrspeicher,
liegt also in B*.)

Interessant, daß hier die Reihenfolge vertauscht ist, was mich
vage an einen kontravarianten Funktor (von der Kategorie der
Menge mit der Inklusion als Pfeilmenge in die der Speicher mit
der Inklusion) erinnert.

Ich glaube, daß diese Beziehung zwischen Werten und Speichern
allgemein gelten könnte, also daß die Menge der Speicher für
eine /Unter/menge von Werte immer eine /Ober/menge der
Speicher der gesamten Menge ist.

Hat sich jemand schon einmal mit diesem »Speicherfunktor« "*"
beschàftigt?

Sind meine obigen Kategorien überhaupt wohldefiniert und ist
das wirklich ein kontravarianter Funktor oder was ist das,
wenn aus A -> B folgt B* -> A*?



Du hast hier eine Galoisverbindung vor Dir:

Seien A und B zwei Mengen und I eine Relation zwischen A und B
(d.h. eine Teilmenge von A x B).

Dann kann man zwischen den Potenzmengen PA und PB zwei Abbildungen
definieren durch

f: PA --> PB
f(X) = { b in B | All x in X: xIb } (für X Teilmenge A)

g: PA --> PB
g(Y) = { a in A | All y in Y: aIy } (für Y Teilmenge B)

Für X teilmenge A und Y teilmenge B hat man nun stets die
folgenden Äquivalenzen:

X teilmenge g(Y)
=
All x in X: x in g(Y)
=
All x in X: All y in Y: xIy
=
All y in Y: All x in X: xIy
=
All y in Y: x in f(X)
=
Y teilmenge f(X)

Woraus man unter anderem folgern kann, dass f und g ordnungsumkehrende
Abbildungen zwischen PA und PB sind. Verwendet man für eine der beiden
Potenzmengen die umgekehrte Ordnung (z.B. für PB), dann kann man
f und g als gewöhnliche ordnungserhaltende Abbildungen

f: PA > PB^op

g: PB^op > PA

auffassen und die obige Äquivalenz besagt dann, dass
f linksadjungiert zu g ist (wobei hier PA und PB^op als
Kategorien aufgefasst werden).

In Deinem Beispiel wàre dann A die Menge der Ziffern, B die Menge
der Speicher und die Relation I ist eben durch
aIb <=> "a kann in b gespeichert werden.

Marc

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