Allgemeines komplexes Quadrat anschaulich

24/01/2010 - 15:17 von Maike Holz | Report spam
Hallo!

Ich habe da bitte mal eine Frage. Wie kann man es sich
möglichst anschaulich machen, dass die komplexe Zahl

a + ib

das Quadrat jeweils der beiden komplexen Zahlen +/-

sqrt(1/2( + a+sqrt(a^2+b^2))) + i sqrt(1/2( - a+sqrt(a^2+b^2)))

ist?

Vielen Dank im voraus und viele Gruesse!

Maike
 

Lesen sie die antworten

#1 Markus Wichmann
24/01/2010 - 15:31 | Warnen spam
Maike Holz () schrieb:
Hallo!

Ich habe da bitte mal eine Frage. Wie kann man es sich
möglichst anschaulich machen, dass die komplexe Zahl

a + ib

das Quadrat jeweils der beiden komplexen Zahlen +/-

sqrt(1/2( + a+sqrt(a^2+b^2))) + i sqrt(1/2( - a+sqrt(a^2+b^2)))

ist?

Vielen Dank im voraus und viele Gruesse!

Maike





Die Rechteckform ist hierfür denkbar ungeeignet. Nimm lieber die
Polarform.

Sei also
z := a + ib
phi := arctan(b/a)
r := sqrt(a*a+b*b)

Dann ist
z := r*e^(i*phi)

Die Polarform besteht aus einem Winkel und einem Radius. Wie das mit
Winkeln so ist, kann man da 2*pi sooft addieren oder abziehen, wie man
will, es kommt halt immer das gleiche dabei heraus, also gilt:
z := r*e^i(phi+2*n*pi), n e N

Und jetzt kommt der Witz:

sqrt(z) = sqrt(r)*e^i(phi+2*n*pi)/2

D.h. der Radius wird reell gewurzelt, und der Winkel wird halbiert.
Und dabei kommt der Sinn der Addition der 2*n*pi heraus: Der auf den
halbierten Winkel kann man noch pi drauf addieren. Also gilt:

sqrt(z) = sqrt(r) * e^i(phi/2 + n*pi)

Darum kommen zwei Zahlen heraus.

HTH,
Markus
Progress (n.): Process through which USENET evolved from smart people in
front of dumb terminals to dumb people in front of smart
terminals.

news://freenews.netfront.net/ - complaints:

Ähnliche fragen