Allgemeinste unitäre 4*4-Matrix

13/08/2008 - 10:20 von Hauke Reddmann | Report spam
Eine allgemeine unitàre nxn-Matrix hat n*(n-1)/2 freie Parameter
(sieht man an den Orthogonalitàtsgleichungen) und ist eine
Drehung im n-dimensionalen Raum. Es gibr auch genau n*(n-1)/2
Kombinationen der n Koordinatenachsen. Heißt das, daß ich besagte
Matrix als Produkt von n*(n-1)/2 Drehungen schreiben kann,
also (n=4)

cs..
-sc..
*...*..cs
..-sc

Oder geht es so nicht und ich muß erst herausfinden, wie das
vierdimensionale Analog der Euler-Winkel aussieht?
Hauke Reddmann <:-EX8 fc3a501@uni-hamburg.de
Er-a svo gott sem gott kveða
öl alda sonum, því að færra veit
er fleira drekkur síns til geðs gumi.
 

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#1 Jan Fricke
14/08/2008 - 19:41 | Warnen spam
Hauke Reddmann wrote:
Eine allgemeine unitàre nxn-Matrix hat n*(n-1)/2 freie Parameter


^^^^^^^ orthogonale?

(sieht man an den Orthogonalitàtsgleichungen) und ist eine
Drehung im n-dimensionalen Raum. Es gibr auch genau n*(n-1)/2
Kombinationen der n Koordinatenachsen. Heißt das, daß ich besagte
Matrix als Produkt von n*(n-1)/2 Drehungen schreiben kann,
also (n=4)

cs..
-sc..
*...*..cs
..-sc

Oder geht es so nicht und ich muß erst herausfinden, wie das
vierdimensionale Analog der Euler-Winkel aussieht?



Ja, das geht so. Dazu macht man eine Induktion über n. Dann schaut man
sich den Vektor (1,0,...,0) an, der auf (a_1,...,a_n) abgebildet werde.
Durch eine Drehung an der (x_1,x_2)-Ebene kann man a_2 "richtig" setzen,
eine anschließende Drehung in der (x_1,x_3)_Ebene setzt a_3 "richtig",
usw. Im letzten Schritt können a_1 und a_n gleichzeitig richtig gesetzt
werden.
Danach fasst man (Induktionsschritt!) die x_1-Richtung nicht mehr an.

Die von Dir angegebene Abbildung (S^1)^(n*(n-1)/2) --> SO(n) ist also
surjektiv. Für n>1 ist sie aber offensichtlich nicht injektiv, d.h. die
Darstellung durch so ein Produkt wird nicht eindeutig sein.


Ich glaube sogar, dass diese Eigenschaft für alle zusammenhàngenden
(kompakten?) Lie-Gruppen G gilt: Wenn X_1,...,X_N eine Basis der
Lie-Algebra ist, so ist
(a_1,...,a_N) |--> exp(a_1 * X_1) * ... * exp(a_n * X_N)
surjektiv. Vielleicht weiß jemand anderes mehr darüber.


Viele Grüße Jan

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