Allgemeinster Ableitungs-/Differentiations-Begriff?

03/06/2012 - 15:54 von IV | Report spam
Hallo,

ich habe jetzt gelesen, daß die Differentiation nicht nur für die Reellen
Funktionen und die Komplexen Funktionen einer oder mehrerer Verànderlicher
definiert ist, sondern auch für Abbildungen zwischen Vektorràumen und für
viele andere Typen von Funktionen und Abbildungen.

Welches ist der allgemeinste Differentiations-Begriff, also für welche
allgemeinsten mathematischen Gebilde ist der Differentialquotient (Grenzwert
des Differenzenquotienten) definiert? Für eine Abbildung (Funktion) zwischen
zwei Mengen?
Ich als Nichtmathematiker kenne nur die Differentiation über den Reellen
Zahlen und den Komplexen Zahlen bzw. Teilbereichen daraus, deren Elemente
dicht liegen. Kann man auch in anderen Mengen differenzieren, z. B. in den
Natürlichen Zahlen oder in Mengen, deren Elemente keine Zahlen sind? Welche
Anwendungen gibt es dafür?

Danke!
 

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#1 Vogel
03/06/2012 - 18:45 | Warnen spam
"IV" schrieb in
news:jqfqb3$4eh$:

Hallo,

ich habe jetzt gelesen, daß die Differentiation nicht nur für die
Reellen Funktionen und die Komplexen Funktionen einer oder mehrerer
Verànderlicher definiert ist, sondern auch für Abbildungen zwischen
Vektorràumen und für viele andere Typen von Funktionen und
Abbildungen.



Eine Abbildung ordnet Elementen einer Menge, Elemente einer anderen Menge
zu. Auf den Mengen muss dabei keine Norm(Abstand zwischen den Elementen)
definiert sein.



Ohne Norm(Abstand) kann man aber keine Diffrenz bilden und somit auch
keinen (analytischen) Differentialquotienten.



Eine Funktion ist eine Abbildung (und mehr). Eine Abbildung ist aber keine
Funktion. Eine Funktion hat daher immer einen analytischen Ausdruck, eine
Abbildung aber nicht. Allerdings ist diese Begriffsbildung geschichtlich
nicht immer so gewesen.

Welches ist der allgemeinste Differentiations-Begriff, also für welche
allgemeinsten mathematischen Gebilde ist der Differentialquotient
(Grenzwert des Differenzenquotienten) definiert?



Ableitung = Funktionswertdifferenz/Variablendifferenz



Also für alles was messbar ist. Das kann bei einem Vektor seine Lànge oder
seine Winkellage sein. Bei einer komplexen Zahl kann es der Realteil oder
Imaginàrteil sein.

Für eine Abbildung (Funktion) zwischen zwei Mengen?
Ich als Nichtmathematiker kenne nur die Differentiation über den
Reellen Zahlen und den Komplexen Zahlen bzw. Teilbereichen daraus,
deren Elemente dicht liegen. Kann man auch in anderen Mengen
differenzieren, z. B. in den Natürlichen Zahlen oder in Mengen, deren
Elemente keine Zahlen sind? Welche Anwendungen gibt es dafür?



Man kann überall da differenzieren wo in der Menge der Funktion und der
Menge der Variablen ein Abstand(Norm) zwischen den Elementen der Menge
definiert ist.



Zwischen den Birnen einer Menge Birnen ist kein Abstand definiert.
Da gibt es auch nichts zu differenzieren.

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