Alte "Kopf um Kopf" Zuschaueraufgabe

29/07/2008 - 11:51 von Rainer Pleyer | Report spam
Hallo,

ich habe eine alte Zuschaueraufgabe gefunden, die meine noch
vorhandenen mathematischen Möglichkeiten überschreitet, trotzdem bin
ich an der Lösung und am Lösungsweg interessiert. Hier meine
Formulierung als Text; die Originalaufgabe findet sich als Audiofile
hier:
<http://luetgemeier.homepage.t-onlin...7r.mp3>

Auf einem Quader (frei im Raume stehend) mit dem Maßen 12 x 12 x 30 cm
sitzen jeweils auf den quadratischen Stirnseiten zwei
"Marienkàfer" (die als Punkte aufzufassen sind). Diese Marienkàfer
möchten auf dem kürzesten Weg zueinander kommen. Ein Marienkàfer sitzt
auf einer Stirnflàche, genau in der Mitte, 1 cm von der oberen Kante
entfernt. Der andere Kàfer sitzt auf der gegenüberliegenden
Stirnflàche, wiederum mittig, 1 cm von der unteren Kante entfernt. Ein
möglicher Weg geht vom ersten Marienkàfer 1cm nach oben, dann parallel
zur langen Kante (30 cm), und dann 11 cm nach unten. Zusammen also 42
cm. Frage: Gibt es einen kürzeren Weg, und wenn ja: welcher wàre das?

Meine Überlegungen sind bisher diese: Von allen Wegen, bei denen eine
Teilstrecke parallel zur langen Quaderkante geht, ist der beschriebene
der kürzeste. Begründung: Es reicht, wenn man hier die Projektion auf
die Stirnflàche betrachtet. Denn das lange Teilstück ist dann ein
Punkt auf dem Umfang der Stirnflàche (also konstant), und die
Gesamtstrecke wird nur durch die Summe der Teilstrecken auf der
Stirnflàche bestimmt. Der Weg geht von P1 (dem ersten Marienkàfer) zum
einem Punkt auf dem Umfang (der Punkt sei S) und von dort zu P2.

Bei dem in der Aufgabe beschriebenen Weg ist die Summe der kleinen
Teilstrecken 12 cm. Alle anderen Punkte, bei denen die Summe der
Teilstrecken gleich 12 cm ist, liegen auf einer Ellipse mit P1 und P2
als Brennpunkten, Die Ellipse tangiert den Umfang der Stirnflàche nur
an zwei Punkten (nàmlich auf der langen Halbachse), ansonsten liegt
sie innerhalb der Stirnflàche. Alle anderen Strecken P1 - S - P2 sind
also lànger. (qed. für diese Teilaussage).

Und weiter? Meine Vermutung ist, dass der kürzeste Weg in einer Ebene
liegt, in der auch die ràumliche Verbindung zwischen P1 und P2 liegt.
Der beschriebene Weg liegt jedenfalls in so einer Ebene, nàmlich der,
die auch parallel zu den senkrechten Stirnflàchenkanten liegt. Dreht
man nun die Ebene um P1-P2 und betrachtet man ihre Schnittmenge mit
der Oberflàche des Quaders, dann gibt es eine Schnittmenge mit
minimaler Lànge. Das wàre dann die Lösung.

1. Mathematisch kann ich diese Idee nicht formulieren, geschweige denn
lösen. Jedenfalls nicht mit den Resten meiner Oberstufenmathematik
(was auch etwas über 20 Jahre her ist).
2. Es ist nicht gezeigt, dass das tatsàchlich die minimale Lösung
wàre.
3. Vielleicht ist das noch zu kompliziert gedacht.

Was meint ihr?

Gruß,
Rainer

P.S. Ich poste hier über Google Groups, weil ich im Büro sitze und
meinen Newsreader nicht dabei habe. Alle formalen Fehler bitte ich zu
entschuldigen.
 

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#1 Jutta Gut
29/07/2008 - 12:08 | Warnen spam
"Rainer Pleyer" schrieb

Auf einem Quader (frei im Raume stehend) mit dem Maßen 12 x 12 x 30 cm
sitzen jeweils auf den quadratischen Stirnseiten zwei
"Marienkàfer" (die als Punkte aufzufassen sind). Diese Marienkàfer
möchten auf dem kürzesten Weg zueinander kommen. Ein Marienkàfer sitzt
auf einer Stirnflàche, genau in der Mitte, 1 cm von der oberen Kante
entfernt. Der andere Kàfer sitzt auf der gegenüberliegenden
Stirnflàche, wiederum mittig, 1 cm von der unteren Kante entfernt. Ein
möglicher Weg geht vom ersten Marienkàfer 1cm nach oben, dann parallel
zur langen Kante (30 cm), und dann 11 cm nach unten. Zusammen also 42
cm. Frage: Gibt es einen kürzeren Weg, und wenn ja: welcher wàre das?



Du musst einfach die verschiedenen Möglichkeiten durchprobieren, wie man das
Netz des Quaders abwickeln kann, und für jede Möglichkeit die Strecke
zwischen den Kàfern berechnen. Pythagoras ist hier hilfreich.

Grüße
Jutta

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