Anwendbarkeit/Eigenschaften von Standardabweichung bei einer Poissonverteilung

18/02/2013 - 11:11 von Lars Uffmann | Report spam
Hallo NG,

Ich habe gerade etwas Schwierigkeiten (Wikipedia, Papierliteratur,
Bronstein momentan nicht zur Hand), herauszufinden, inwieweit sich für
eine Poisson-Verteilung von Messwerten (Netzwerk-Signallaufzeiten) mit
einer physikalischen Untergrenze, einer typischen und sehr hàufig guten
Laufzeit und theoretisch beliebiger Verzögerung eine Aussage analog der
2-Sigma-Verteilung für eine Gauss-Verteilung machen làsst:

Laut dem schlauen Büchlein, dass ich hier habe (van Calker / Kleinhanß,
Physikalisches Kurspraktikum für Mediziner und Naturwissenschaftler)
sowie Wikipedia und diversen anderen Quellen lassen sich für endliche
Messreihen die besten Annàherungen an den wahren Mittelwert Mü sowie an
die wahre Standardabweichung Sigma wie folgt berechnen:

Mü ist die Summe aller Messwerte geteilt durch die Anzahl n der Messungen

Sigma ist die Wurzel aus der Varianz, die Varianz ist die Summe der
Fehlerquadrate geteilt durch die Anzahl der Kontrollmessungen (n-1)

Angeblich befinden sich in einem Bereich einer Standardabweichung vom
Mittelwert bei genügend grossem n etwa 68,3 % der Messwerte.

Meine Probleme sind jetzt:
1) Keine der mir verstàndlichen Quellen erklàrt, ob sich diese
Berechnungen sowie die 68,3 % überhaupt auf eine Poisson-Verteilung
anwenden lassen. Ist das so? Ich finde keine alternative Berechnung

2) Meine Messwerte befinden sich bei der obigen Methode zu ca. 92 %
innerhalb einer Standardabweichung. Bei über 3000 Messwerten erscheint
mir diese Abweichung von den genannten 68,3 % hoch genug, um darauf zu
schliessen, dass ich eine nicht anwendbare Methode benutze, um meine
Messungen zu beurteilen.

3) Das oben angegebene Büchlein behauptet, bei der Poisson-Verteilung
würde die Standardabweichung allein durch den Mittelwert bestimmt: Sigma
sei die Wurzel aus Mü. Habe ich da eine Normierung verpasst? Nach den
eigentlichen Berechnungen sollten sowohl Sigma als auch Mü die gleiche
Einheit haben - Allerdings soll die Poisson-Verteilung nur für
abzàhlbare Ereignisse geeignet sein, da kann man vermutlich ganz ohne
physikalische Einheiten rechnen. Aber wenn - wie in meinem Fall - der
Messwert eine Signallaufzeit in Sekunden ist, làsst sich die Wurzel wohl
nicht so einfach ziehen.

Kann mir jemand helfen, wie ich über eine Verteilung im Stile:
- schnellstes Datenpaket war 0,4 Sekunden unterwegs
- ca. 60% der Daten waren nach 1 Sekunde am Ziel
- ca. 90% nach 1.5 Sekunden
- ca. 95% nach 2 Sekunden
- ca. 98% nach 3 Sekunden
- 100% nach 4.8 Sekunden
eine vernünftige statistische Aussage treffen kann, im Sinne von "Bei
einem Mittelwert von X Sekunden kamen innerhalb der Standardabweichung
von +/- Y Sekunden Z Prozent der Pakete an?"

Im Prinzip würde ich erwarten, dass es für die linke und rechte Seite
des Mittelwertes unterschiedliche Standardabweichungen gibt, da die
Minimallaufzeit von Signalen eine technische Grenze hat, die
Maximallaufzeit aber nicht (Pakete können in einem Puffer stecken
bleiben oder verlorengehen)

Gruss & Danke

Lars
 

Lesen sie die antworten

#1 HGS
18/02/2013 - 20:16 | Warnen spam
"Lars Uffmann" schrieb im Newsbeitrag news:

Lass mal lieber die Deppen-Enzyklopàdie Waikikipedia beiseite und warte darauf, den
Bronstein-Semendjajew wieder zur
Hand zu haben. Außerdem ist die Poisson-Verteilung eine Substitution der Bernoulli-Verteilung, und
da gibt es bezüglich des Mittelwertes
und der Standardabweichung doch wohl keine Besonderheiten. Ansonsten gibt jede Formelsammlung
Hinweise zur Berechnung des Mittelwertes
und der Standardabweichung diskreter Zufallsvariblen. In diesem Zusammhang eine Frage: Sind
Signallaufzeiten in physikalischen
Systeme oder überhaupt diskrete Zufallsvariablen?
Ansonsten ein Literatur-Hinweis: Smirnow, Dunin-Barkowski: "Mathematische Statistik in der Technik".
Ist nicht so einfach zu lesen wie die Waikikipedia-Schwurbeleien, hat aber Hand und Fuß, einen guten
Praxisbezug und
kann in der RWTH-Bibliothek entliehen werden.

Au banan, Dr.rer.cop. HGS Frhr. z. Schlechttental

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