Anwendung Bernoulli-Gleichung

13/10/2016 - 19:12 von Dr. Andreas J. Bittner | Report spam
Hallo Fachleute,

ich würde gerne Folgendes aus einem Gutachten besser verstehen, um es
dann mit Mac Grapher und anderen Parametern selbst rechnen zu können:

Zitat (mit LaTeX-Resten):
Die Freisetzungsrate von Flüssigphase aus einem Leck [eines Behàltnisses
ajb] kann mit Hilfe der Bernoulli-Gleichung ermittelt werden,

\dot{m}_{fl} = C_D \cdot A \cdot \sqrt{2 \cdot ho \cdot (p_0 - p_u)}

p_0 = ho \cdot g \cdot h

wobei
[$C_D$] die Ausflussziffer, 0,62 bei scharfkantiger, runder Öffnung,
[$A$] die Leckflàche/Flàche der Austrittsöffnung,
[$ho$] die Dichte der Flüssigphase im Behàlter bei Prozesstemperatur,
[$p_u$] Umgebungsdruck: 1013,25 mbar, abs.
[$p_0$] Prozessdruck vor dem Leck: hydrostatischer Druck durch Füllhöhe,
max. 1 m
[$g$] die Erdbeschleunigung: 9,81\,m/s\textsuperscript{2}

ist.
Zitatende.

Also

dm/dt = m punkt = C_D * A * wurzel(2 * ho * (ho * g * h - p_u))

Dabei müßte h = h(t) sein, also die Höhe des Flüssigkeitsspiegels im
Behàltnis mit Leck, der ja wegen des Lecks abnimmt. h müßte eigentlich
bei p_u auch auftauchen, aber die paar cm/dm Luftsàule mehr...

So weit so gut, ich mach unten in einem Kanister ein Loch und je nach
Größe A kommt mehr oder weniger raus (dm/dt), den Luftdruck p_u kann ich
nicht beeinflussen, die Höhe ist durch das Behàltnis vorgegeben.

Eigentlich brauche ich oben noch ein Loch, wo die Luft reinkann, die das
ausgelaufene Volumen füllt, nun gut.

ho ist die Dichte der auslaufenden Flüssigkeit (beispielsweise H2SO4
konz. = 1,84 kg/l; Ethanol = 0,78 kg/l).

Hinter der Ausflußziffer C_D vermute ich auch die Viskositàt versteckt,
Brennspiritus ist ziemlich dünnflüssig, konz. Schwefelsàure so àhnlich
wie Salatöl.

Also habe ich

dm/dt ~ const * wurzel(A^2 * m(?)/A)

Ja, aber m(t) oder m(Höhe Fl.-spiegel)? Oder m(t(h))?

Vielleicht ist die Gleichung so verkürzt, daß sie das wesentliche zeigt,
aber eine schlechte Vorschrift zum ausrechnen (lassen) ist. An
irgendeiner Stelle hake ich gedanklich fest und komme nicht weiter.
Vielleicht kann mir jemand von Euch auf die Sprünge helfen.

Danke & Grüße
Andreas
 

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#1 Hans-Bernhard Bröker
13/10/2016 - 20:14 | Warnen spam
Am 13.10.2016 um 19:12 schrieb Dr. Andreas J. Bittner:

Dabei müßte h = h(t) sein, also die Höhe des Flüssigkeitsspiegels im
Behàltnis mit Leck, der ja wegen des Lecks abnimmt. h müßte eigentlich
bei p_u auch auftauchen, aber die paar cm/dm Luftsàule mehr...



Nicht wirklich. In der dargestellten Form gilt die Gleichung für einen
Behàlter mit wirklich nur _einem_ Loch. Der Luftdruck-Unterschied
spielt dadurch keine Rolle. Bei einem oben offenen Topf würde nàmlich
der absolute Luftdruck keine relevante Rolle spielen.

Damit die angegebene Beziehung für p_0 stimmt, darf in dem Behàltnis
auch keine Dampf-Phase oberhalb der Flüssigkeit stehen. Es müsste sich
also nicht um einen festen Topf, sondern eher um eine Plastiktüte
handeln, die in dem Maße, wie der Inhalt abnimmt, widerstandslos in sich
zusammenfàllt.

Eigentlich brauche ich oben noch ein Loch, wo die Luft reinkann, die das
ausgelaufene Volumen füllt, nun gut.



Nein, brauchst du bei dieser Formel nicht; siehe oben.

Also habe ich

dm/dt ~ const * wurzel(A^2 * m(?)/A)

Ja, aber m(t) oder m(Höhe Fl.-spiegel)? Oder m(t(h))?



m(t). Die Höhe h kommt ja gar nicht mehr vor.

Vielleicht ist die Gleichung so verkürzt, daß sie das wesentliche zeigt,
aber eine schlechte Vorschrift zum ausrechnen (lassen) ist.



Nein. Verkürzt war da nichts (bevor du p_u einfach weggelassen hast).

Die Gleichung ist prinzipiell vollstàndig, aber es ist eben eine
_Differential_-Gleichung. Die beschreibt nicht selbst direkt die Lösung
m(t), sondern nur deren Eigenschaften. Um m(t) zu ermitteln, braucht
man einen Anfangswert m(0), und einen mathematischen Werkzeugkasten, um
die Differentialgleichung zu lösen.

Gesucht ist (in dieser Nàherung) eine Funktion, deren Ableitung
proportional zur Wurzel der Funktion selbst ist. In diesem Fall kann
man das relativ einfach lösen. Aus der grundsàtzlichen Form

1 / sqrt(m(t)) dm/dt = C # C ist negativ

ergibt sich als Grund-Form der Lösung:

m(t) = (m(0) + C/2 * t)^2

Gültig bis maximal t = -2*m/C

Die verbleibende Masse würde also einer Parabel-Funktion folgend
abnehmen ... das wird allerdings falsch, sobald deine vereinfachende
Annahme, dass p_u vernachlàssigt werden kann, versagt.

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