Anwort an Kluto

28/10/2008 - 12:28 von WM | Report spam
On 26 Okt., 11:55, tjen...@uni-klu.ac.at wrote:

Seit dem Monsterthread in sci.logic mit über 9000 Beitràgen scheint
Google nun bei 501 zu kappen – wohl um nicht Gefahr zu laufen, die
Existenz von aleph_0 experimentell zu bestàtigen. Keine Sorge ...


> Die beste mir bekannte Definition stammt von Cantor:
> Cantor, Werke, p. 374: "Trotz wesentlicher Verschiedenheit der
> Begriffe
> des potentialen und aktualen Unendlichen, indem ersteres eine
> verànderliche endliche, über alle Grenzen hinaus wachsende Größe,
> letztere ein in sich festes, konstantes, jedoch jenseits aller
> endlichen Größen liegendes Quantum bedeutet, tritt doch leider nur zu
> oft der Fall ein, daß das eine mit dem andern verwechselt wird."

> Das aktual Unendliche ist also unverànderbar. Das heißt, man kann
> sinnvoll über "alle" Pfade sprechen.

Meine Frage bezog sich eigentlich auf "aktual unendlich", mit
"aktual" als Adverb und "unendlich" als Adjektiv.



Also eine aktual unendliche Menge meinst Du? Die Unterscheidung zur
potentiell uendlichen Menge ist sehr einfach:

Eine (einfach) aktual unendliche Menge besitzt eine Anzahl X von
Elementen, so dass wir sagen können:
es existiert ein X do dass für jede natürliche Zahl n gilt n < X.
X ist also unabhàngig von n.

Eine potentiell unendliche Menge besitzt keine feste Anzahl von
Elementen, sondern dort können wir nur sagen:
für jede natürliche Zahl n gibt es eine natürliche Zahl m so dass gilt
n < m.

Nicht auf "aktual"

als Adjektiv und "Unendlich" als Substantiv. Dann darf ich entnehmen,
dass eine "aktual unendliche Menge" M, falls die Menge als fest und
konstant vorausgesetzt wird, die weitere Eigenschaften besitzen muss:
gleichzeitig ein "Quantum" zu sein, und "jenseits zu liegen" jeder
endlichen Größe.



Ja.


Ohne Dir die weitere Mühe zu machen jetzt wieder
nachzuschlagen, erinnerst Du Dich ob diese Begriffe irgendwo
definiert werden, und ob für "endlich" eine Definition angeboten wird?
Leider habe ich die Werke nicht bei mir liegen. Es ist stets
interessant
zu wissen wie "endlich" in einem Text definiert wird, denn es gibt
Definitionen die einen Zahlenbegriff voraussetzen (endlich heisst eine
bestimmte natürliche Anzahl von Elementen zu haben),



Cantor konstruiert die endlichen Kardinalzahlen mit Hlfe von Mengen
(Werke, p. 289f):

Es soll zunàchst gezeigt werden, wie die dargelegten Prinzipien, auf
welchen spàter die Lehre von den aktual unendlichen oder transfiniten
Kardinalzahlen aufgebaut werden soll, auch die natürlichste, kürzeste
und strengste Begründung der endlichen Zahlenlehre liefern.
Einem einzelnen Ding e0, wenn wir es unter den Begriff einer Menge E0
= (e0) subsumieren, entspricht als Kardinalzahl das, was wir "Eins"
nennen und mit 1 bezeichnen; 1 = Card (E0)
Man vereinige nun mit E0 ein anderes Ding e1, die Vereinigungsmenge
heiße E1, so daß

E1 = ( E0, e1) = (e0, e1)

Er geht dabei übrigens nicht von der leeren Menge aus.

Gruß, WM
 

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#1 Herbert Newman
28/10/2008 - 13:16 | Warnen spam
Am Tue, 28 Oct 2008 04:28:06 -0700 (PDT) schrieb WM:


Also eine aktual unendliche Menge meinst Du? Die Unterscheidung zur
potentiell uendlichen Menge ist sehr einfach: [...]



Bis auf, dass die Unterscheidung aktual/potentiell in Bezug auf eine Menge
keinen Sinn macht. Eine Menge ist entweder endlich oder nicht endlich, also
unendlich. Punkt.

Was nun folgt ist dann klarerweise nur ein inkohàrentes Gestammel:


Eine (einfach) aktual unendliche Menge besitzt eine Anzahl X von
Elementen, so dass wir sagen können:

es existiert ein X, so dass für jede natürliche Zahl n gilt n < X.
X ist also unabhàngig von n.



Hier setzen Sie voraus, dass jeder unendliche Menge M eine Anzahl ihrer
Elemente, |M| zugeordnet werden kann. Das ist z. B. innerhalb der ZFC
richtig; aber eine "Selbstverstàndlichkeit" ist das nicht. Sei's drum, in
ZFC haben wir also z. B. |N| = aleph_0. Und es gilt An e N: n < aleph_0.
Demnach ist also N "aktual" unendlich.

Man könnte (unter der oben erwàhnte Voraussetzung) also definieren:

M ist unendlich gdw. |N| <= |M|.

Mit anderen Worten, eine Menge M ist unendlich, wenn sie mindestens so
viele Elemente besitzt, wie die Menge der natürlichen Zahlen. :-)

(Das passt auch, denn man kann in ZFC auch beweisen, dass jede unendliche
Menge [in diesem Fall anders definiert als eben] eine abzàhlbar unendliche
Teilmenge besitzt, also eine Teilmengen, die mit der Menge der natürlichen
Zahlen gleichmàchtig ist.)


Eine potentiell unendliche Menge besitzt keine feste Anzahl von
Elementen, sondern dort können wir nur sagen:
für jede natürliche Zahl n gibt es eine natürliche Zahl m so dass gilt
n < m.



Und was hat das jetzt mit irgendeiner Menge M zu tun? :-o

Unabhàngig von jeder Menge M, ob diese nun Ihrer Meinung nach "aktual oder
potentiell unendlich" ist (was wie gesagt, keinen Sinn macht), gilt für
jede natürliche Zahl n, dass es eine natürliche Zahl m (z. B. n+1) gibt, so
dass gilt: n < m.


Herbert

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