Anzahl der Minoranten pro Element x in wohlgeordneter Menge M

30/08/2012 - 00:15 von Stephan Gerlach | Report spam
Gegeben sei eine überabzàhlbare Menge M mit einer Wohlordnung <. D.h.
für je 2 Elemente x1, x2 aus M gilt entweder x1 < x2 oder x2 < x1.

Wenn - wie vorausgesetzt - M überabzàhlbar ist, gilt (denke ich
zumindest) folgender Satz:

Satz 1

Es existiert eine überabzàhlbare Teilmenge M' von M mit folgender
Eigenschaft:
Jedes Element x' aus M' besitzt unendlich viele Minoranten, d.h. für
jedes x' existieren unendlich viele Elemente x aus M mit x < x'.

Daraus folgt insbesondere:

Satz 2

Es existiert mindestens ein Element x_0 in M, welches abzàhlbar
unendlich viele Minoranten in M hat.

Frage: Kann man in Satz 2 "abzàhlbar" sogar durch "überabzàhlbar"
ersetzen? D.h. existiert in jeder wohlgeordneten überabzàhlbaren Menge M
(mindestens) ein Element x_0, welches überabzàhlbar viele Minoranten hat?

Was schwerfallen dürfte: Ein Gegenbeispiel für die Vermutung zu finden,
da es ja AFAIK bereits schwierig ist, überhaupt eine Wohlordnung auf
einer überabzàhlbaren Menge explizit zu konstruieren.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Vogel
30/08/2012 - 06:18 | Warnen spam
Stephan Gerlach schrieb in
news:k1m48n$6ov$:

Gegeben sei eine überabzàhlbare Menge M mit einer Wohlordnung <. D.h.
für je 2 Elemente x1, x2 aus M gilt entweder x1 < x2 oder x2 < x1.

Wenn - wie vorausgesetzt - M überabzàhlbar ist, gilt (denke ich
zumindest) folgender Satz:

Satz 1 Es existiert eine überabzàhlbare Teilmenge M' von M mit
folgender Eigenschaft: Jedes Element x' aus M' besitzt unendlich viele
Minoranten, d.h. für jedes x' existieren unendlich viele Elemente x
aus M mit x < x'.

Daraus folgt insbesondere:

Satz 2 Es existiert mindestens ein Element x_0 in M, welches
abzàhlbar unendlich viele Minoranten in M hat.



Das mag so sein, folgt aber nicht aus Satz 1.

Frage: Kann man in Satz 2 "abzàhlbar" sogar durch "überabzàhlbar"
ersetzen? D.h. existiert in jeder wohlgeordneten überabzàhlbaren Menge
M (mindestens) ein Element x_0, welches überabzàhlbar viele Minoranten
hat?



Ja. Wàre es anders, gàbe es Elemente die aus der Wohlordnung
ausgeschlossen wàren. Stellt dir vor, jedes Element x sei eine Menge mit
unendlich vielen Elementen.

Was schwerfallen dürfte: Ein Gegenbeispiel für die Vermutung zu
finden, da es ja AFAIK bereits schwierig ist, überhaupt eine
Wohlordnung auf einer überabzàhlbaren Menge explizit zu konstruieren.



Warum sollte das schwerfallen? Eine Wohlordnung wird deklariert und nicht
konstruiert.



Man deklariert eine Wohlordnung zwischen zwei beliebigen Elementen einer
Menge für alle Elemente der Menge egal ob diese abzàhlbar oder
überabzàhlbar viele sind.



Es gibt auf der reellen Achse keine Abschnitte die nicht wohlgeordnet
sind.

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