Anzahl der Punkte im n-dimensionalen Raum mit gleichem Abstand

05/01/2010 - 23:03 von Holger Buick | Report spam
Behauptung: Im n-dimensionalen euklidischen Raum lassen sich bis zu n
+1 Punkte so anordnen, dass diese alle untereinander den gleichen
Abstand haben.
Gibt es dafür einen Beweis?
Bekannte Beispiele: n=2 --> gleiseitiges Dreieck; n=3 --> Tetraeter
weiter: zu den n+1 Punkten làsst sich immer ein weiterer Punkt
(möglicherweise Schwerpunkt) finden, der zu jedem dieser n+1 Punkte
den jeweils gleichen Abstand hat. Dieser Abstand ist kleiner als
derjenige aus der ersten Behauptung.
 

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#1 Holger Buick
06/01/2010 - 14:59 | Warnen spam
Folgende Beweisskizze fàllt mir dazu ein:
Induktive Beweistechnik.

Eine Menge von Punkten mit gleichen Abstànden untereinander, die im n-
dimensionalen Raum liegen nenne ich M.gleich(n).
Eine Menge mit der maximal möglichen Anzahl solcher Punkte nenne ich
M.max(n).

1. Zu jedem Punktepaar aus M.gleich(n) existiert eine Menge von
Punkten M.a(n), deren Elemente zu beiden Punkten des Paares den
jeweils gleichen Abstand besitzen.

2. Die Schnittmenge M.schnitt(n) dieser Punktemengen M.a(n) hat den
gleichen Abstand zu allen Punkten aus M.gleich(n).

3. Für M.gleich.(n) = M.max(n) enthàlt M.schnitt(n) genau einen Punkt
P.

4. Der Abstand von P zu jedem Punkt aus M.gleich(n) ist kleiner als
der einheitliche Abstand dieser Punkte untereinander.

5. Wir bilden eine Geraden G(n+1) mit folgenden Eigenschaften:

6. Jeder Punkt auf G(n+1) hat jeweils gleiche Abstànde zu allen
Punkten aus M.gleich(n).

7. Durch Bewegen auf der Gerade G in beide Richtungen weg von P
erhalten wir beliebig grosse Abstànde zu den Punkten aus M.gleich(n),
wodurch auch zwei Punkte mit dem gesuchten Abstand auffindbar sind,
die die Bedingung für Punkte aus M.gleich(n+1) erfüllen, von denen
dann ein beliebiger ausgewàhlt wird.

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