Approximation der Null mittels Wechselsummen

06/01/2012 - 00:21 von Rainer Rosenthal | Report spam
Ausgehend von einer einfachen Fragestellung habe ich
ein paar für mich erstaunliche Ergebnisse erhalten.

Die Fragestellung: Was kommt bei folgendem Spiel heraus?
ich addiere oder subtrahiere die Brüche 1, 1/2, 1/3, ... der
Reihenfolge nach mit dem Ziel, stets möglichst nahe an 0
zu bleiben.

Es zeigt sich, dass man von der 1 gleich dreimal nacheinander
subtrahieren muss: 1 - 1/2 - 1/3 - 1/4 = -1/12 führt nahe an
die 0. Danach wird eine Weile im Wechsel addiert und subtrahiert.
Die Vorzeichenfolge v beginnt also so: ++-+-+-...
Bei Position 19 gibt es die erste Abweichung: ...+1/19-1/20 ist
immer noch positiv, so dass zweimal nacheinander subtrahiert
werden muss.

Interessant ist, welche Eigenschaften die Vorzeichenfolge v hat.
Ich suche also die Folge v mit Elementen v_k in {+1,-1} derart,
dass die Summen

s_n = Summe{k=1..n} v_k*a_k

möglichst kleinen Absolutbetrag haben, wobei a_k = 1/k ist.

Ändere ich das Approximationsprinzip "PENDEL" etwas ab, indem ich
negative Summen s_n verbiete, dann erinnert das Verhalten der s_n
an "hüpfen über bzw. auf der Null-Linie". Das entsprechende
Approximationsprinzip nenne ich "HUPF".

So ganz neu ist meine Spielerei natürlich nicht, denn ein Blick ins
OEIS zeigte, dass es für HUPF und a_k = k bereits etwas im Archiv
gibt: http://oeis.org/A008344 .

Der Faktor 3 in den Sprungweiten bei A008344 finde ich erstaunlicher-
weise auch wieder, wenn ich a_k = 1/k gemàß HUPF verarbeite. Es gibt
nàmlich nur ganz selten den Fall einer doppelten Subtraktion, sonst
wird im Wechsel addiert und subtrahiert. Die Positionen doppelter
Subtraktion haben Abstànde, die mit Faktor 3 wachsen.

Und ob Ihr es glaubt oder nicht: für a_k = 1/k^2 haben wir das
gleiche Verhalten (wir müssen natürlich bei n=2 beginnen, weil
wir sonst nie in 0-Nàhe kommen), und die "Sprungweiten" haben
immer genauer den Faktor sqrt(3).

Vollends haarstràubend fand ich, dass a_k = 1/sqrt(k) die Sprung-
weite um 3^2 = 9 vergrößert.

Ich vermute sehr stark, dass dies alles seine natürliche Erklàrung
finden wird :-)
Und dass dabei der Faktor 3 von OEIS-Folge A008344 hilfreich sein wird.

Das Approximationsprinzip PENDEL liefert aber beruhigend chaotisches
Verhalten in der Vorzeichenfolge auch für a_k = 1/k^2 und a_k = 1/sqrt(k).

Anmerkung: ich bin ganz vergnügt darüber, dass ich einen Neujahrsgruß
von Gerhard Wöginger bekam, zusammen mit anderen gut bekannten dsm-
Lesern, und dass ich in der Grußantwort dies Problem andeuten konnte.
Laut GW war die PENDEL-Folge kein allbekanntes Objekt, und somit sind
alle Mitleser herzlich eingeladen, die Ràtsel der PENDEL-Folge zu
erkunden. Hier ist ein etwas làngeres Anfangssegment:
++-+-+-+-+-+-+-+--++--+-++--++-+--+-++-+--++--+-++-+--+-++--++-+--
++--+-++--++-+--+-++-+--++--+-++--++-+--++--+-++--++-+--++--+-++--++-
+--++--+-++--++-+--++--+-++--++-+--++--+-++--++-+--++--+-++--++-+--++

Was mir besonders ràtselhaft erscheint: dass das einseitige Approxi-
mieren (HUPF) gewisse Regelmàßigkeiten aufweist, wohingegen das
beidseitige Approximieren (PENDEL) herrlich chaotisch aussieht.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

Lesen sie die antworten

#1 Moritz Franckenstein
07/01/2012 - 16:26 | Warnen spam
Rainer Rosenthal wrote, on 06.01.2012 00:21:
++-+-+-+-+-+-+-+--++--+-++--++-+--+-++-+--++--+-++-+--+-++--++-+--
++--+-++--++-+--+-++-+--++--+-++--++-+--++--+-++--++-+--++--+-++--++-
+--++--+-++--++-+--++--+-++--++-+--++--+-++--++-+--++--+-++--++-+--++



Also, ICH finde das interessant und freue mich schon auf meine Rentnerzeit.

;-)

Moritz Franckenstein
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