Approximation durch ganzzahlige Linearkombinationen von Einheitswurzeln

28/07/2012 - 21:35 von JURKSCH | Report spam
Hallo,

sei w die n-te Einheitswurzel und a_1*w^0 + a_2*w^1 + ... + a_n*w^(n-1)
eine Linearkombination der Einheitswurzeln mit ganzzahligen Koeffizienten
a_i. Sei ferner s = max |a_i|. Dann kann ich für n = 8 und n = 12
nachweisen, daß es eine Konstante C gibt, so daß

|a_1*w^0 + ... + a_n*w^(n-1)| >= C/s gilt, wenn die Linearkombination

nicht 0 ist. In den genannten Fàllen verwende ich den Approximationssatz
von Liouville für den Beweis, indem ich ausnutze, daß Realteil und
Imaginàrteil der Summe aus Q[sqrt(2)] bzw Q[sqrt(3)] sind.

Hat jemand eine Idee für allgemeines n?

MfG
Hermann
 

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#1 Detlef Müller
28/07/2012 - 23:10 | Warnen spam
Am 28.07.2012 21:35, schrieb Hermann Jurksch:
Hallo,

sei w die n-te Einheitswurzel und a_1*w^0 + a_2*w^1 + ... + a_n*w^(n-1)
eine Linearkombination der Einheitswurzeln mit ganzzahligen Koeffizienten
a_i. Sei ferner s = max |a_i|. Dann kann ich für n = 8 und n = 12
nachweisen, daß es eine Konstante C gibt, so daß

|a_1*w^0 + ... + a_n*w^(n-1)|>= C/s gilt, wenn die Linearkombination

nicht 0 ist. In den genannten Fàllen verwende ich den Approximationssatz
von Liouville für den Beweis, indem ich ausnutze, daß Realteil und
Imaginàrteil der Summe aus Q[sqrt(2)] bzw Q[sqrt(3)] sind.

Hat jemand eine Idee für allgemeines n?




Vielleicht kommt man mit Funktional-Analysis weiter ...

wir vergleichen ja die Max-Norm des Vektors
(a_1, ..., a_n) mit den Werten der Linearform
(a_1, ..., a_n) |--> a_1*w^0 + ... + a_n*w^(n-1)

Da kommen mir Schlagwörter wie "Operator-Normen" in den Sinn.

Gruß,
Detlef

MfG
Hermann




Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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