Äquivalenz korrekt?

05/02/2009 - 19:19 von Max Kontak | Report spam
Da ich gerade eine Aufgabe zur analytischen Geometrie löse (Mathe-LK
Stufe 13), und bei einer Abstandsberechnung auf Betràge stoße, stellte
ich mir gerade die Frage, ob folgende Äquivalenz wohl richtig ist:

abs(x)=abs(y) <=> x^2=y^2

für x,y aus R.

Das erscheint mir eigentlich ganz logisch, weil ja sowohl bei der
Betragsfunktion als auch beim quadrieren ein eventuelles negatives
Vorzeichen "wegfàllt", möchte mir nur sicher gehen, ob es auch stimmt.

Danke schon einmal im voraus!

MfG,
Max
 

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#1 Rainer Rosenthal
05/02/2009 - 19:35 | Warnen spam
Max Kontak schrieb:
Da ich gerade eine Aufgabe zur analytischen Geometrie löse (Mathe-LK
Stufe 13), und bei einer Abstandsberechnung auf Betràge stoße, stellte
ich mir gerade die Frage, ob folgende Äquivalenz wohl richtig ist:

abs(x)=abs(y) <=> x^2=y^2

für x,y aus R.

Das erscheint mir eigentlich ganz logisch, weil ja sowohl bei der
Betragsfunktion als auch beim quadrieren ein eventuelles negatives
Vorzeichen "wegfàllt", möchte mir nur sicher gehen, ob es auch stimmt.



Wie wurde denn der Absolutbetrag abs(x) eingeführt bei Euch?
Wenn die Definition abs(x) = sqrt(x^2) war, dann könnte es so
gehen:

abs(x) = abs(y) <=> sqrt(x^2) = sqrt(y^2) <=> x^2 = y^2

Die erste Äquivalenz ist lediglich durch die Definition gegeben,
also sicher wahr.
Für die zweite Äquivalenz ist die Rückrichtung klar, weil das
Wurzelziehen eine Abbildung ist. Die Funktion sqrt ist für alle
nichtnegativen Zahlen definiert als diejenige nichtnegative Zahl,
deren Quadrat gleich dem Funktionsargument ist.
Bleibt also nur noch der Weg => der letzten Äquivalenz zu zeigen.
Dass aus sqrt(a) = sqrt(b) stets a = b folgt, ist aus der Definition
leicht abzuleiten, denn es folgt sofort (sqrt(a))^2 = (sqrt(b))^2,
aber das ist ja gleichbedeutend mit a = b.

Gruss,
Rainer Rosenthal

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