Asymptotik einer Gleichung

18/05/2009 - 18:51 von christian.palmes | Report spam
Hallo,

ich möchte folgende Aussage beweisen:

Die Gleichung k = \sum_{j=1}^m c_j \lambda_j^k, wobei c_j und
\lambda_j fest vorgegebene komplexe Zahlen sind, ist nicht für fast
alle natürlichen Zahlen k erfüllbar.

Auf den ersten Blick sieht die Aussage doch trivial aus, da beide
Seiten offensichtlich eine unterschliedliche Asymptotik für k-

unendlich besitzen. Aber irgendwie bereitet der formale Nachweis


Schwierigkeiten.

Mein Ansatz:
o.E. c_j ungleich null für alle j.

Damit obige Gleichung erfüllt ist, muß mindestens ein \lambda_j vom
Betrag her echt größer eins sein. Wàhle nun das vom Betrag her größte
\lambda_j. Nun sollte die rechte Seite mit diesem \lambda_j
exponentiell gegen unendlich gehen, d.h. wesentlich schneller als die
linke Seite. Das Problem ist nur, es könnte ja noch ein \lambda_i mit |
\lambda_i| = |\lambda_j| > 1 existieren und die Phasen sich gerade so
geschickt ausgleichen, daß es dann doch stimmt, was m.E. aber nicht
der Fall sein wird. Das formal zu zeigen gelingt aber irgendwie nicht.
Außerdem hoffe ich auf einen einfacheren Ansatz. Diese
"Zwischenaussage" hatte ich beim ersten Lesen eigentlich als
Trivialitàt abgetan .. Mit Sicherheit übersehe ich irgendwas, deshalb
hier diese Nachricht, oder ist die Aussage sogar falsch ? (würde mich
sehr wundern!)

Gruß Christian
 

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#1 christian.palmes
18/05/2009 - 20:07 | Warnen spam
Hallo nochmal,

Habe jetzt eine Lösung gefunden, ist mir aber zu lang! Irgendwie muß
das doch ganz simpel zu sehen sein ..

Lösungsskizze:

1. o.E. können die \lambda_j als paarweise verschieden angenommen
werden, sonst fasse man eben entsprechend zusammen.

2. Sei f(k) := \sum_{j=1}^m c_j \lambda_j^k, also f(k) = k für alle k
= N



Es gilt dann f(k)*f(s) = f(k*s) k,s>=N

Diesen Term multipliziere man aus und forme ihn ein wenig um. Danach
wird die bekannte Tatsache über die Vandemonde Determinante benutzt
(zwei mal !).

3. Wir erhalten daraus c_i * c_j = delta_ij, d.h. nur maximal ein c_i
kann ungleich null sein. Dann haben wir entweder einen Widerspruch,
weil wir dies o.E. schon vorab ausgeschlossen hatten (wie in meinem
ersten Posting angedeutet) oder man sieht nun dann ganz klar, daß die
Asymptotik nicht stimmt (nur ein Summand).


Geht das nicht einfacher?

Gruß Christian

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