Auffrischung : Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariablen

25/12/2013 - 21:12 von Rose Jaune | Report spam
Im reellen diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.

Ist eine reelle diskrete Zufallsvariable, die die Werte mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten annimmt (mit als abzàhlbarer Indexmenge), so errechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz mit:

Ist , so besitzt genau dann einen endlichen Erwartungswert , wenn die Konvergenzbedingung
erfüllt ist, d. h. die Reihe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.
Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion[Bearbeiten]

Der Erwartungswert balanciert die Wahrscheinlichkeitsmasse – hier die Masse unter der Dichte einer Beta(α,β)-Verteilung mit Erwartungswert α/(α+β).
Hat eine reelle Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion , das heißt hat das Bildmaß diese Dichte bezüglich dem Lebesgue-Maß , so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als
(1)
In vielen Anwendungsfàllen liegt (im Allgemeinen uneigentliche) Riemann-Integrierbarkeit vor und man hat:
(2)
Gleichwertig zu dieser Gleichung ist, wenn Verteilungsfunktion von ist:
(3)
(2) und (3) sind unter der gemeinsamen Voraussetzung (f ist Dichtefunktion und F ist Verteilungsfunktion von f) àquivalent, was mit schulgemàßen Mitteln bewiesen werden kann.[1]
 

Lesen sie die antworten

#1 Rose Jaune
26/12/2013 - 20:13 | Warnen spam
Bevor man über den 2.HS redet muß man über das Wahrscheinlichkeitsmaß reden :

In der Wahrscheinlichkeitstheorie dient ein Wahrscheinlichkeitsmaß zur mathematischen Beschreibung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion , die jedem Ereignis aus der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments eine Zahl zwischen und , genannt Wahrscheinlichkeit von , zuordnet und folgende Eigenschaften hat:
Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit .
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von mehreren paarweise disjunkten Ereignissen eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

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