Aufgabe aus der Kombinatorik: Ziehen aus Zwillingspaaren ...

12/05/2014 - 08:30 von Brigitta | Report spam
Hallo,

in dem vergnüglichen Büchlein von Lawrence Potter
"Liebe Mathematik, löse Deine Probleme bitte selber" findet sich eine Aufgabe,
die in abgewandelter Weise in einigen Lehrbüchern zur Wahrscheinlichkeitsrechnung zu finden ist. Meist geht es um Paare von Socken oder Hemden, die ungeordnet in einer Schublade liegen.

Bei Potter lautet die Aufgabe:
In einer Schatulle liegen 5 Paar Ohrringe wirr durcheinander. Wie viele Ohrringe muss ich ziehen, um mindestens ein Paar zu haben? Als Lösung wird 6 angegeben.

Ich bin so vorgegangen:
Gesucht wird der Erwartungswert der Zufallsvariablen
X=Anzahl der Züge, bis mindestens ein Paar.

Klar ist:
Ich muss mindestens zweimal ziehen, bis ich ein Paar bekomme, spàtestens beim
6. Zug habe ich ein Paar.

E(X)= 2*p(X=2) + 3*p(X=3) + 4*p(X=4) + 5*p(X=5)

Ist diese Überlegung richtig?

Die Wahrscheinlichkeiten für die Züge bis zum Paar errechne ich über die Gegenwahrscheinlichkeit.
Ich frage: wie wahrscheinlich ist es, kein Paar zu erhalten, dann ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit als

p(Paar beim n-ten Zug) = 1 - p(kein Paar beim n-ten Zug).

Beispiel für den 3. Zug:
Möglichkeiten kein Paar zu ziehen dividiert durch
Gesamtzahl der möglichen Züge:

10*8*6/10*9*8 = 2/3
notiert als p(Paar im 3. Zug) = p(X=3) = 1 - 2/3 = 1/3

Entsprechend die anderen Wahrscheinlichkeiten:

p(X=2) = 1/9 = 7/63
p(X=3) = 1/3 = 21/63
p(X=4) = 39/63
p(X=5) = 55/63

Wenn ich mit diesen Wahrscheinlichkeiten den Erwartungswert berechne,
komme ich auf
E(X) = 2*7/63 + 3*21/63 + 4* 39/63 + 5 *55/63 ergibt gerundet 8 und nicht 6
wie bei Lawrence.

Könnte mir jemand den Weg erklàren, wie man auf das richtige Ergebnis
kommt? Meine Überlegungen haben offensichtlich einen Fehler.

Danke und
Viele Grüße
Brigitta
 

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#1 Christian Gollwitzer
12/05/2014 - 08:42 | Warnen spam
Am 12.05.14 08:30, schrieb Brigitta:
in dem vergnüglichen Büchlein von Lawrence Potter "Liebe Mathematik,
löse Deine Probleme bitte selber" findet sich eine Aufgabe, die in
abgewandelter Weise in einigen Lehrbüchern zur
Wahrscheinlichkeitsrechnung zu finden ist. Meist geht es um Paare von
Socken oder Hemden, die ungeordnet in einer Schublade liegen.

Bei Potter lautet die Aufgabe: In einer Schatulle liegen 5 Paar
Ohrringe wirr durcheinander. Wie viele Ohrringe muss ich ziehen, um
mindestens ein Paar zu haben? Als Lösung wird 6 angegeben.

Ich bin so vorgegangen: Gesucht wird der Erwartungswert der
Zufallsvariablen X=Anzahl der Züge, bis mindestens ein Paar.



So, wie diese Frage gestellt ist (und auch die Antwort), ist *NICHT*
nach einem Erwartungswert gefragt, sondern wann Du mit Sicherheit ein
Paar hast. Und dann ist die Lösung trivial: Du könntest ja 5
verschiedene Ohrringe ziehen, weil es 5 verschiedene gibt, aber
spàtestens beim 6. hast Du dann bereits alle Partner in der Hand und es
muss ein Paar geben.

DIe Frage nach dem Erwartungswert ist mir jetzt zu kompliziert.
Allerdings àhnelt sie dem Geburtstagsparadox, so dass die Lösung in der
Nàhe von sqrt(n) liegen wird, d.h. man wird im Mittel so 3-4 Mal ziehen
müssen.

Christian

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