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Aus Gödels Unvollständikeitssatz folgt die Nichtexistenz der Menge aller natürlichen Zahlen

02/09/2009 - 13:31 von Albrecht | Report spam
"Der erste gödelsche Unvollstàndigkeitssatz besagt, dass in einem
widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus
diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."

Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Pràdikat
"xIstNatürlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gödel für
mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist. Eine Menge ist
durch ihre Elemente bestimmt. Die Menge der natürlichen Zahlen enthàlt
somit mindestens ein Element für das nicht beweisbar ist ob es sich
um eine natürliche Zahl handelt oder nicht. Damit làsst sich aber
nicht mehr von der Menge der natürlichen Zahlen sprechen, da
mindestens ein Objekt existiert für das nicht geklàrt werden kann ob
es eine natürliche Zahl ist oder nicht.


Gruß
Albrecht
 

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#1 Rainer Rosenthal
02/09/2009 - 14:33 | Warnen spam
Albrecht schrieb:
"Der erste gödelsche Unvollstàndigkeitssatz besagt, dass in einem
widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die
Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und
das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus
diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können."

Nimmt man die Peano-Arithmetik und dazu das Pràdikat
"xIstNatürlicheZahl", also INZ(x), so muss es nach Gödel für
mindestens ein n eine Aussage der Form INZ(n) geben, die innerhalb
dieses Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist. Eine Menge ist
durch ihre Elemente bestimmt. Die Menge der natürlichen Zahlen enthàlt
somit mindestens ein Element für das nicht beweisbar ist ob es sich
um eine natürliche Zahl handelt oder nicht. Damit làsst sich aber
nicht mehr von der Menge der natürlichen Zahlen sprechen, da
mindestens ein Objekt existiert für das nicht geklàrt werden kann ob
es eine natürliche Zahl ist oder nicht.



Das war ein Beweisversuch. Er verdient also eine Widerlegung.
Wer sagt denn bitte, dass INZ(x) zu diesen fiesen Pràdikaten
gehört, von denen es gemàss Gödel welche gibt?

Gruss,
Rainer Rosenthal

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