"*-Ausdruck" (Multiplikationsausdruck, Elementarmathematik)

08/05/2016 - 15:56 von ram | Report spam
Wieder einmal eines meiner Lieblingsthemen und praktisch
elementarmathematisch, aber für mich derzeit schwierig!

Ich möchte definieren, was ich unter einem Produkt verstehe,
wobei möglichst wenig Begriffe vorausgesetzt werden.

Ich setze als bekannt voraus: Die Operatoren "+" und "*" mit
der Bedeutung "Addition" und "Multiplikation" und den
üblichen Rechenregeln, Klammern, sowie die Begriffe
"Operator", "Operand", "Ausdruck", "Teilausdruck" und
"echter Teilausdruck". (Ein echter Teilausdrucks eines
Ausdrucks A ist ein Ausdruck, der in A als Operand vorkommt.
Ein Teilausdruck eines Ausdrucks A ist ein echter
Teilausdruck oder A selber.)

Ich möchte nun einen Ausdruck wie

2 * 3

gerne als einen »*-Ausdruck" (als Produkt) bezeichnen. Der
Ausdruck

2 + 3

soll aber kein »*-Ausdruck" (kein Produkt) sein.

Klingt einfach.

Erster Versuch:

Definition A

»Ein *-Ausdruck (ein Produkt) ist ein Ausdruck, der mit
dem Operator "*" geschrieben wurde.«

Nun gibt es dazu aber leider das folgende Gegenbeispiel:

2 + 3 * 4

dieser Ausdruck wurde "mit Hilfe von »*«" geschrieben,
soll aber kein Produkt sein.

Eine bessere, genauere Definition von »Produkt« wàre mit
Hilfe einer exakten Syntax der Sprache möglich, aber in
meinem Kurs habe ich erst eine /vereinfachte/ Syntax gegeben,
die dafür noch nicht hilfreich ist.

Man könnte natürlich sagen, daß ein Produkt ein Ausdruck
ist, bei dessen Auswertung man /als letztes/ multipliziert,
aber das möchte ich nicht, weil ich dann erst Regeln aufstellen
müßte, die besagen, wie ein Ausdruck ausgewertet wird.

Daher nun der nàchste Versuch zu definieren, wann ein
Ausdruck ein »*-Ausdruck«, also ein Produkt ist:

Definition B

Ein Ausdruck A ist ein *-Ausdruck (ein Produkt),
wenn alle echten Teilausdrücke in A Teilausdrücke
von Operanden eines *-Operators sind.

Damit wird

2 + 3 * 4

ausgeschlossen, weil darin »2« kein Teilausdruck eines
Operands eines *-Operators ist. Hingegen ist

3 * 4

ein Produkt, weil die beiden einzigen echten Teilausdrücke
»3« und »4« in Operanden eines *-Operators vorkommen.

Ist die Definition B nun »wasserdicht« oder findet jemand
ein Gegenbeispiel, also einen Ausdruck, der intuitiv
»ein Produkt« oder »kein Produkt« ist, aber für den die
Definition B eine andere Aussage als die Intuition macht?

Oder kann man die Definition B noch vereinfachen?
 

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#1 Robin Koch
08/05/2016 - 17:44 | Warnen spam
Am 08.05.2016 um 15:56 schrieb Stefan Ram:

Definition B

Ein Ausdruck A ist ein *-Ausdruck (ein Produkt),
wenn alle echten Teilausdrücke in A Teilausdrücke
von Operanden eines *-Operators sind.

Damit wird

2 + 3 * 4

ausgeschlossen, weil darin »2« kein Teilausdruck eines
Operands eines *-Operators ist.



Dazu müsstest Du "Teilausdruck eines Operators" und "echter Teilausdruck
eines Operators" definieren.

Letztendlich meinst Du die Operanden.

Oder kann man die Definition B noch vereinfachen?



"Ein Ausdruck ist genau dann ein "*-Ausdruck", wenn er die Form

A*B

hat, wobei A und B ihrerseits Ausdrücke sind."

Ob das "einfacher" ist sei dem Leser überlassen. Aber solche Konstrukte
sind sehr minimalistisch und universell wiederverwendbar.
Und Du brauchst nur die Definition eines Ausdrucks.

Robin Koch

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