Aussage für Taylorkoeffizienten und Ableitungen II

14/12/2014 - 03:00 von IV | Report spam
Hallo,

ich würde gern wissen, ob man aus dem gegebenen allgemeinen Glied einer
Potenzreihe im Reellen oder Komplexen auf die Ableitung der Potenzreihe
schließen kann.
Die allgemeine Formel für den allgemeinen Taylorkoeffizienten einer
Potenzreihe H=h(z) im Reellen oder Komplexen enthàlt ja die Ableitung der
Potenzreihe nach z an der Stelle z=z0: d^n/dz^n h(z)|z0. Diese allgemeine
Formel für den allgemeinen Taylorkoeffizienten gilt für jede beliebige
Stelle z0 des Definitionsbereiches. Demzufolge müßte sie auch für alle z
gelten. Aus der Formel für h(z=z0) sollte also die Formel für h(z) folgen.
Ist das richtig? Und wie kann man das mathematisch korrekt beweisen?

Hier drei Beispiele.

zunàchst die Notation:
F = f(z), G = g(z) und H = H(F,G) = h(z) seien Potenzreihen mit Definitions-
und Wertebereich im Komplexen. f[n](z), g[n](z), h[n](z) bezeichne die n-te
Ableitung von f(z), g(z) bzw. h(z) *nach z*, f[n](z0), g[n](z0), h[n](z0)
dagegen die n-te Ableitung von f(z), g(z) bzw. h(z) nach z *an jeder
beliebigen Stelle z = z0 des Definitionsbereiches*.

Beispiel 1:
Sei h(z) = f(z) + g(z). Dann gilt:
a) h[n](z) = f[n](z) + g[n](z) (Summenregel)
und
b) h[n](z0) = f[n](z0) + g[n](z0).
Aus a) folgt unmittelbar b), denn man braucht nur z durch z0 ersetzen. Folgt
aber aus b), z0 jedes beliebige z aus dem Definitionsbereich, auch
unmittelbar a)?

Beispiel 2:
Sei h(z) = f(z) * g(z). Dann gilt:
a) h[n](z) = Sum[k=0..n](n!/(k!(n-k)!) f[k](z) * g[n-k](z)) (Leibnitzsche
Produktregel)
und
b) a) h[n](z0) = Sum[k=0..n](n!/(k!(n-k)!) f[k](z0) * g[n-k](z0))
Aus a) folgt unmittelbar b), denn man braucht nur z durch z0 ersetzen. Folgt
aber aus b), z0 jedes beliebige z aus dem Definitionsbereich, auch wieder
unmittelbar a)? b) h[n](z0) = Sum[k=0..n](n!/(k!(n-k)!) f[k](z0) *
g[n-k](z0)).

Beispiel 3:
Umkehrung von Potenzreihen
Sei Phi=phi(z) die Umkehrfunktion der Funktion F=f(z), also phi(f(z)) f(phi(z)) = z.
b) d^n/dz^n phi(z)|z=z0 = d^(n-1)/dz^(n-1) (((z-z0)/(f(z)-f(z0)))^n)|z=z0
(Lagrange-Inversions-Theorem)
Meine Schlußfolgerung: Da b) für jedes z0 aus dem Definitionsbereich z gilt,
gilt b) auch für alle n-ten Ableitungen nach z, nicht nur für die n-ten
Ableitungen an einer gegebenen Stelle z0. Es gilt also auch:
a) d^n/dz^n phi(z) = d^(n-1)/dz^(n-1) (((z-z0)/(f(z)-f(z0)))^n).

Sind meine Schlußfolgerungen b) --> a), also h[n](z0) --> h[n](z), richtig?
Wie kann man den Beweis b) --> a) mathematisch korrekt formulieren?

Vielen, vielen Dank.
 

Lesen sie die antworten

#1 Roland Franzius
14/12/2014 - 11:08 | Warnen spam
Am 14.12.2014 03:00, schrieb IV:
Hallo,

ich würde gern wissen, ob man aus dem gegebenen allgemeinen Glied einer
Potenzreihe im Reellen oder Komplexen auf die Ableitung der Potenzreihe
schließen kann.
Die allgemeine Formel für den allgemeinen Taylorkoeffizienten einer
Potenzreihe H=h(z) im Reellen oder Komplexen enthàlt ja die Ableitung
der Potenzreihe nach z an der Stelle z=z0: d^n/dz^n h(z)|z0. Diese
allgemeine Formel für den allgemeinen Taylorkoeffizienten gilt für jede
beliebige Stelle z0 des Definitionsbereiches. Demzufolge müßte sie auch
für alle z gelten. Aus der Formel für h(z=z0) sollte also die Formel für
h(z) folgen. Ist das richtig? Und wie kann man das mathematisch korrekt
beweisen?

Hier drei Beispiele.

zunàchst die Notation:
F = f(z), G = g(z) und H = H(F,G) = h(z) seien Potenzreihen mit
Definitions-
und Wertebereich im Komplexen. f[n](z), g[n](z), h[n](z) bezeichne die n-te
Ableitung von f(z), g(z) bzw. h(z) *nach z*, f[n](z0), g[n](z0), h[n](z0)
dagegen die n-te Ableitung von f(z), g(z) bzw. h(z) nach z *an jeder
beliebigen Stelle z = z0 des Definitionsbereiches*.

Beispiel 1:
Sei h(z) = f(z) + g(z). Dann gilt:
a) h[n](z) = f[n](z) + g[n](z) (Summenregel)
und
b) h[n](z0) = f[n](z0) + g[n](z0).
Aus a) folgt unmittelbar b), denn man braucht nur z durch z0 ersetzen.
Folgt
aber aus b), z0 jedes beliebige z aus dem Definitionsbereich, auch
unmittelbar a)?

Beispiel 2:
Sei h(z) = f(z) * g(z). Dann gilt:
a) h[n](z) = Sum[k=0..n](n!/(k!(n-k)!) f[k](z) * g[n-k](z)) (Leibnitzsche
Produktregel)
und
b) a) h[n](z0) = Sum[k=0..n](n!/(k!(n-k)!) f[k](z0) * g[n-k](z0))
Aus a) folgt unmittelbar b), denn man braucht nur z durch z0 ersetzen.
Folgt
aber aus b), z0 jedes beliebige z aus dem Definitionsbereich, auch wieder
unmittelbar a)? b) h[n](z0) = Sum[k=0..n](n!/(k!(n-k)!) f[k](z0) *
g[n-k](z0)).

Beispiel 3:
Umkehrung von Potenzreihen
Sei Phi=phi(z) die Umkehrfunktion der Funktion F=f(z), also phi(f(z)) > f(phi(z)) = z.
b) d^n/dz^n phi(z)|z=z0 = d^(n-1)/dz^(n-1)
(((z-z0)/(f(z)-f(z0)))^n)|z=z0 (Lagrange-Inversions-Theorem)
Meine Schlußfolgerung: Da b) für jedes z0 aus dem Definitionsbereich z
gilt,
gilt b) auch für alle n-ten Ableitungen nach z, nicht nur für die n-ten
Ableitungen an einer gegebenen Stelle z0. Es gilt also auch:
a) d^n/dz^n phi(z) = d^(n-1)/dz^(n-1) (((z-z0)/(f(z)-f(z0)))^n).

Sind meine Schlußfolgerungen b) --> a), also h[n](z0) --> h[n](z),
richtig? Wie kann man den Beweis b) --> a) mathematisch korrekt
formulieren?



Es bringt offenbar nichts, einem Laien ein paar mathematische Tatsachen
über komplex differenzierbare Funktionen und ihre Beziehungen zu reell
analytischen Funktionen, die man in jedem wikipedia-Artikel nachlesen
kann, zu erklàren.

Nimm das berühmteste aller Beispiele, die geometrische Reihe:

f: x -> 1/(1+x) = sum (-1)^n x^n, |x|<1

und daraus sofort

g: x-> 1/(1+x^2) = sum (-1)^n x^(2n), |x|<1

Die Reihe konvergiert absolut im offenen Innern des reellen Intervalls
(-1,1).

Es ist im Reellen zu zeigen, dass

g^(n):= Derivative[n][g] = ( x-> sum (-1)^n d^n(x^(2n))/dx^n )

und dass

sum (-1)^k (2k)(2k-1)..(2k-n+1) x^(2n-k)

für alle n ebenfalls in (-1,1) konvergiert.

Die negative erste Ableitung ist

arctan: x-> sum (-1)^k x^(2n+1)/(2n+1) |x|<1


Der dafür zustàndige Satz (nicht ganz trivial zu beweisende Satz im
Reellen) hat die Form

Differentiation und Limes dürfen vertauscht werden, wenn die
differenzierte Folge gleichmàßig konvergiert und in einem Punkt mit der
Ableitung übereinstimmt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Gleich...ierbarkeit

Dieser Satz sagt seinersiets aus, dass eine konvergente Reihe, die eine
reelle Funktion in einem Intervall darstellt, keine direkte Information
über die Reihenentwicklung der Ableitung bereithàlt. Die Potenzreihen
bilden da eine singulàre Ausnahme, weswegen man über sie ausgehend vom
allgemeinen Fall nichts beweisen kann.

Du stehst also als mathematischer Laie ohne Wissen über die Bedeutung
der _gleichmàßigen Konvergenz_ einer Folge von Partialsummen mit einem
angedachten einfachen Beweis über die Konvergenz von Potenzreihen auf
dem Schlauch, wenn du nichts über die komplexe Differenzierbarkeit weißt.

Die Einführung des Begriffs _komplexe Differenzierbarkeit_ beseitigt
alle diese im Reellen sehr schwierigen Probleme der Funktionalanalysis
auf einen Schlag durch den Beweis der Identitàt von Differenzierbarkeit
und Konvergenz der Taylorreihe im Komplexen und damit auch im Reellen.

Verstanden hat man das erst, wenn man begiffen hat, warum die
Darstellung von x->1/(1+x^2) durch die geometrische Reihe nicht überall
konvergiert:

2/(1+x^2) = 1/(1+ i x) + 1/(1-i x)

Die Funktion x->1/(1+x^2) hat also bei x=+-i je einen Pol. Diese Pole in
der komplexen Ebene begrenzen die Konvergenz der Riehenentwicklungen um
beliebige Punkte.

1/(1 + x^2) 1/(1 + (z -z0 )^2) 1/(1 + z0^2 + z^2 - 2 z z0 )) 1/(1 + z0^2 ) 1/(1 + (z^2 + 2 z z0)/(1 + z0^2 ))
1/(1 + z0^2 ) sum_n (-1)^n ( (z^2 + 2 z z0)/(1+z0^2 ))^n )

?offenbar? konvergent für |(z- z0) - z0^2| < |1 + z0^2 |

Ohne Kenntnis des Konvergenzradius der geometrischen Reihe oder der
Gleichmàßigkeit der Konvergenz der abgeleiteten Reihe und des
Identitàtssatzes für Potenzreihen: Versuche die Ableitung von Funktion
und Reihe zu verifizieren.

Hingegen liefert uns die komplexe Analysis den Befund, dass die Reihe im
größten Kreis um z0 konvergiert, auf dessen Rand die nàchste der beiden
Singularitàten bei z=+-i liegen, dort die Funktion darstellt und dass
alle Integrale und Ableitungen der Funkiton im Innern dieses Kreises
mittels gliedweiser Integration oder Differentiation ihrer Potenzreihe
zu gewinnen sind.

Nun wirst du wieder die Mathematiker beschimpfen, dass sie das nicht in
einfache Worte fassen können, so dass es jeder mathematische Laie
versteht. Da das vorhersehbar ist, macht man sich hier solche Mühe mit
solchen Ansinnen. Das gilt insbesondere für diejenigen, die aus
unerfindlichen Gründen im Netz mathematische Kenntnisse nur vortàuschen
wollen.


Roland Franzius

Ähnliche fragen