Aw: Re: Re: Also: Wenn Erstens die 1. Ordinalzahl ist und vorher 0 Ordinalzahlen stehen, an welcher Stelle steht omega und wieviele Ordinalzahlen kommen davor?

11/07/2011 - 12:00 von Albrecht | Report spam
Am Montag, 11. Juli 2011 11:03:38 UTC+2 schrieb Franz Fritsche:

On Sun, 10 Jul 2011 23:19:09 -0700 (PDT), Albrecht wrote:

> Was bedeuten denn [in]
>
> "Die kleinste Ordinalzahl ist 0 = {}; danach folgen 1 = {{}} = {0}, 2 = {0,
> 1} = {{},{{}}}, usw."
>
> die Ziffern 0, 1, 2, ... bevor sie als Mengen definiert werden [...]?

Es geht hier nicht um die /Ziffern/ "0", "1", "2", ..., "9", sondern um die
(Ordinal-)ZAHLEN 0, 1, 2, ...



Ja, ist ja gut, natuerlich sind Zahlen gemeint (aber ohne//).




Und BEVOR den Zahlzeichen "0", "1", "2", usw. im Kontext der Mengenlehre
mittels Definition eine "Bedeutung" gegeben wird, bedeuten sie -in diesem
Kontext- GAR NICHTS.



Haha. Guter Trick. Amicus muss denken er waere selber darauf gekommen, dann kann man ihn vielleicht festnageln (aber wahrscheinlich hilft selbst das nichts). Aber ein Versuch ist es immer wert. Also: Die Zahlen 0, 1, 2,... bedeuten dem Mengenlehrer garnichts. Also, handelt es sich um eine reine Konvention. Also ist es irrelevant, im Mengenlehrerkontex, ob 0 oder 1 dasteht.

Ich sehe das freilich anders.
Wenn ********... eine Zeichenfolge beliebig gewaehlter Zeichen ist, so ist
*
ein Zeichen dieser Folge, man sagt, das erste Zeichen dieser Folge,
**
sind zwei Zeichen dieser Folge, man sagt das erste und das zweite Zeichen der Folge,
***
sind drei Zeichen der Folge, man sagt das erste, das zweite, das dritte Zeichen der Folge, somit kann man die Folge

*
**
***
****
*****
...

als eine Darstellung der Folge der Ordinalzahlen identifizieren, und da * ein Zeichen enthaelt wird dies wiederum mit der 1 identifiziert, ** mit der zwei, *** mit der drei, ...

also

* <-> 1
** <-> 2
*** <-> 3
...

ist die Fogle der Ordinalzahlen. Damit haben die Zahlen einen Sinn bekommen. Dein "0={}, 1={{}}, ..." ist einfach nur sinn- und bedeutungsloses Gewaesch.




> Korrekt muesste es uebrigens heissen:
>
> 0 := {}
> 1 := {{}}
> ...

Nope. Die AUSSAGE/FESTSTELLUNG "Die kleinste Ordinalzahl ist 0 = {}; danach
folgen 1 = {{}} = {0}, 2 = {0, 1} = {{},{{}}}, usw." ist schon korrekt so.



Wenn vorher definiert wurde, von mir aus. Nur, was soll dann diese Schreibweise? "Doppelt gemoppelt haelt besser", oder was?



Was Du meinst, ist eine DEFINITION. Ja, da ist es -im deutschsprachigen
Raum zumindest- üblich zu schreiben:

0 := {}
1 := {{}}
etc.

(Hint: Auch das, diese Schreibweise, ist eine gebràuchlich _Konvention_.)




Schoen dass Du doch lernfaehig bist. Aber nein, nicht doch, es ist doch voellig klar, dass Du das alles alleine erfunden hast. Ueberhaupt, die ganze Mathematik ist ja eigentlich Dein Werk. Alles ist gut. Niemand will Dir Deinen Lutscher wegnehmen.


AS
 

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#1 Franz Fritsche
11/07/2011 - 13:38 | Warnen spam
On Mon, 11 Jul 2011 03:00:48 -0700 (PDT), Albrecht wrote:

[...] BEVOR den Zahlzeichen "0", "1", "2", usw. im Kontext der Mengenlehre
mittels Definition eine "Bedeutung" gegeben wird, bedeuten sie -in diesem
Kontext- GAR NICHTS.



[...] Also: Die Zahlen 0, 1, 2,... bedeuten dem Mengenlehrer garnichts.



Wer lesen kann, ist klar im Vorteil: Ich hatte geschrieben:

BEVOR den Zahlzeichen "0", "1", "2", usw. im Kontext der Mengenlehre
mittels Definition eine "Bedeutung" gegeben wird, bedeuten sie -in
diesem Kontext- GAR NICHTS.

Es ist hier die Rede von Zahlzeichen, nicht Zahlen.

Also, handelt es sich um eine reine Konvention.



In der Tat. Jedoch, eine SINNVOLLE Konvention, die eine "Verbindung"
zwischen den Zahlzeichen "des tàglichen Lebens" und/oder den Zahlzeichen
aus anderen Teilen der Mathematik, wie sie schon seit Jahrhunderten in
Gebrauch sind, herstellt. Bekanntlich bezeichnet das Zahlzeichen "0" die
Zahl Null, das Zahlzeichen "1", die Zahl Eins, usw.

Also ist es irrelevant, im Mengenlehrerkontex, ob 0 oder 1 dasteht.



Im PRINZIP ja. (Siehe weiter unten.)

Du kannst auch definieren:

1 := {}

usw.

Dann wàre, in diesem Kontext in der Tat 1 die kleinste Ordinal- und/oder
Kartinalzahl. (Das Zeichen "1" hàtte dann aber die "Bedeutung", die wir
_üblicherweise_ dem Zeichen "0" geben.)

Ich sehe das freilich anders.



Achselzuck, Du magst das sehen, wie Du willst. Was zàhlt, ist aber der
mathematisch-logische _Sachverhalt_, keine subjektive Ansicht.

Wenn ********... eine Zeichenfolge
beliebig gewaehlter Zeichen ist, so ist * ein Zeichen dieser Folge, man
sagt, das erste Zeichen dieser Folge, ** sind zwei Zeichen dieser Folge,
man sagt das erste und das zweite Zeichen der Folge, *** sind drei
Zeichen der Folge, man sagt das erste, das zweite, das dritte Zeichen
der Folge, somit kann man die Folge

* ** *** **** ***** ...

als eine Darstellung der Folge der Ordinalzahlen identifizieren,



So weit so richtig.

Jedoch müsste man dann im Kontext der Mengenlehre definieren:

* := {}
** := {{}} = {*}
*** := ... = {*, **}

usw. WEIL die Ordinalzahlen -als MENGEN- halt _üblicherweise_ nun mal so
definiert sind. (Die kleinste ist die leere Menge, usw.)

und da * ein Zeichen enthaelt wird dies wiederum mit der 1 identifiziert, **
mit der zwei, *** mit der drei, ...



Das schlàgt sich allerdings mit dem Umstand, dass wir -wie oben schon
erwàhnt- üblicherweise definieren:

1 := {0} mit 0 = {} .

Also Du musst Dich schon entscheiden: WENN "*" die kleinste
Ordinal-/Kardinalzahl bezeichnen soll, dann ist * = {}, weil die leere
Menge halt nun mal im Kontext der Mengenlehre _üblicherweise_ (nach von
Neumann) die kleinste solche Zahl repràsentiert.

Wenn dann aber "1" die Kardinalzahl von Mengen, die genau ein Element
enthalten, bezeichnen soll, dann gilt * =/= 1 .

also

* <-> 1 ** <-> 2 *** <-> 3 ...

ist die Folge der Ordinalzahlen.



Nein. Es gilt dann, siehe oben:

0 <-> *
1 <-> **
2 <-> ***

Das passt dann auch ganz gut zu dem Umstand, dass -in üblicher Sprechweise-
0 (in der Reihe der Ordinalzahlen) die erste Ordinalzahl ist, 1 die zweite,
usw.

Auf die Bezeichnung kommt es in der Tat nicht an. Aber es gibt natürlich
ZWECKMÄßIGERE und weniger zweckmàßige Bezeichnungen. Hier könnte man dann
also schreiben:

0 ist die *-te Ordinalzahl
1 ist die **-te Ordinalzahl
usw.

Oder allgemeiner: In der Folge

a, b, c, ...

ist a das *-te Element, b das **-te, usw.

Damit haben die Zahl[zeich]en einen Sinn bekommen.



So ist es.

MfG,
FF

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