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Aw: Re: Re: An der wievielten Position in der Reihe der Ordinalzahlen steht omega wenn 1 an 1. Stelle steht?

17/07/2011 - 12:46 von Albrecht | Report spam
Am Samstag, 16. Juli 2011 18:07:05 UTC+2 schrieb Helmut Richter:

On Sat, 16 Jul 2011, Vogel wrote:

> Genauer gesagt meine ich, dass die Ordinalzahlen sich selber abzàhlen und
> selber ordnen, weil sie natürliche Zahlen sind von denen sie diese
> Eigenschaft geerbet haben.

Die Ordinalzahlen im sprachlichen Sinn sind die natürlichen Zahlen,
nur unter einer grammatikalisch anderen Form, um ihren anderen
Einsatzzweck zu kennzeichnen.



Die Ordinalzahlen sind genau jene Zahlen, die die Position eines Elementes in einer Reihe angeben. Im Gegensatz dazu gibt eine Kardinalzahl die _Anzahl_ der vor ihr stehenden Elemente incl. ihrere selbst an. Da Oridnal- und Kardinalzahlen letztendlich einfach nur natuerliche Zahlen sind muss man deren ordinale oder kardinale Verwendung kennzeichnen. Dazu gibt es verschieden Konventionen. Eine davon sind die Verwendung der Woerter "erste, zweite, dritte, ..." fuer Ordinalzahlen gegenueber den Woertern "eins, zwei, drei, ..." fuer Kardinalzahlen.

"Ordinalzahlen im sprachlichen Sinn sind natuerliche Zahlen in einer anderen grammatikalischen Form" ist einfach nur Quark.



Die Ordinalzahlen im mathematischen Sinn sind eine Erweiterung der
natürlichen Zahlen, wobei es gar nicht offensichtlich ist, dass sie deren
Eigenschaft, sich selbst abzuzàhlen, erben. Sie tuns aber.



Welch tiefgreifende Weisheit hier spricht.



Was das genau heißt, "sich selbst abzuzàhlen", müsste man natürlich vorher
definieren.



Man muss nichts definieren was in einer Sache selbst liegt.

1. Zahl: 1; 1, eine Zahl
2. Zahl: 2; 1, 2, zwei Zahlen
3. Zahl: 3; 1, 2, 3, drei Zahlen
...


AS
 

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#1 Franz Fritsche
17/07/2011 - 14:36 | Warnen spam
On Sun, 17 Jul 2011 03:46:39 -0700 (PDT), Albrecht wrote:

Die [endl.] Ordinalzahlen [geben] die Position eines Elementes in einer
Reihe an[.] Im Gegensatz dazu gibt eine [endl.] Kardinalzahl die _Anzahl_
der vor ihr stehenden Elemente [...] an.



Genau, sehr richtig! Im Endlichen "fallen" die endlichen Ordinal- und
Kardinalzahlen als natürlichen Zahlen "zusammen":

0, 1, 2, ...

"[A] clearer intuition of ordinals can be formed by examining a first few
of them: [...] they start with the natural numbers, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..."
Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number

Da [endl.] Ordinal- und Kardinalzahlen letztendlich einfach nur natuer-
liche Zahlen sind muss man deren ordinale oder kardinale Verwendung [im
Kontext der gewöhnlichen Rede] kennzeichnen. Dazu gibt es verschieden
Konventionen. [!]



Sehr richtig: "We can [for example] freely speak of the γ-th element in the
[well ordered] class (with the convention that the "0-th" is the smallest
the "1-th" is the next smallest, and so on)."
(http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number)

1. Zahl: 1; 1, eine Zahl
2. Zahl: 2; 1, 2, zwei Zahlen
3. Zahl: 3; 1, 2, 3, drei Zahlen
...



Das gilt jedoch nur bei Ausschluss der Null. Im Kontext der Mengenlehre, um
den es hier geht*), ist die 0 = {} jedoch eine (nàmlich die erste/kleinste)
natürliche (bzw. Ordinal-)Zahl.

Unter Verwendung der oben erwàhnten Konvention ergibt sich dann:

0-te nat. Zahl: 0; die Anzahl der Zahlen, die ihr vorangehen: 0
1-te nat. Zahl: 1; die Anzahl der Zahlen, die ihr vorangehen: 1
2-te nat. Zahl: 2; die Anzahl der Zahlen, die ihr vorangehen: 2
...

Es gilt also für alle n e IN:

|{m e IN : m < n}| = n.

Kleiner Exkurs in die Mengenlehre: Nach der Definition der nat. Zahlen
durch von Neumann gilt sogar:

{} = 0 ,
{0} = 1 ,
{0, 1} = 2 ,
:
{0, 1, ..., n-1} = n ,
:
Und wegen

|{0, 1, ..., n-1}| = n ,

gilt dann für alle n e IN:

|n| = n.

Hey, die natürlichen Zahlen "zàhlen sich selbst" (im wahrsten Sinne des
Wortes) "ab": Jede natürlich Zahl gibt gerade _die Anzahl der Element_ an,
_aus denen sie besteht_ (also die sie ale Elemente enthàlt). Cool, was? :-)

MfG,
FF

*) "Die Ordinalzahlen sind in der modernen Mathematik ein Begriff der
Mengenlehre." (http://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl)

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