Bahnkurve im Raum und Geodäteneigenschaft der Weltlinie

02/06/2015 - 00:27 von Gregor Scholten | Report spam
Hallo zusammen,

Vor vielen Jahren hatte ich hier mal eine Diskussion mit Rolf Albinger
(oder Roalto, wie er sich neuerdings nennt) darüber, ob die Bahnkurve

x^i(s) i=1,2,3

eines Teilchens im Raum automatisch eine Geodàte ist, wenn die Weltlinie

x^mu(s) = (x^0(s), x^i(s)) mu=0,1,2,3

in der Raumzeit eine Geodàte ist. Mein damalige Position war (und ist
noch immer), dass sie das nicht ist. Ich argumentierte damals, dass,
wenn man die Bahn x^i(s) auf die Weltlinie x^mu(s) shiftet, es von der
(Dreier-)Geschwindigkeit, mit der die Bahn durchaufen wird, abhàngt, ob
die resultierende Weltlinie eine Geodàte ist. Albinger alias Roalto
widersprach mit dem Argument "auch das ist falsch, es kommt auf die
Richtung des [Vierer-]Beschleunigungsvektors an". Damals verfügte ich
nicht über die nötigen mathematisch Kenntnisse, um meinen Standpunkt
streng mathematisch zu begründen, was mir Albinger alias Roalto so
auslegte als würde ich mich weigern zu rechnen.

Mittlerweile habe ich mir die nötigen mathematischen Kenntnisse jedoch
angeeignet, und daher will ich nunmehr die mir damals nicht mögliche
mathematische Beweisführung nachholen. Here we go:

Bekanntlich lautet die Geodàtengleichung für Weltlinien, wenn s der
Bahnparameter ist:

d^2 x^mu / ds^2
+ Gamma^mu_{alpha,beta} (dx^alpha / ds) (dx^beta / ds) = 0

Betrachten wir im speziellen die Schwarzschildmetrik, so sind die
nichtverschwindenden Christoffelsymbole:

Gamma^r_tt, Gamma^t_tr, Gamma^r_rr,
Gamma^theta_{r,theta}, Gamma^phi_{r,phi}, Gamma^r_{theta,theta},
Gamma^phi_{theta,phi}, Gamma^r_{phi,phi}, Gamma^theta_{phi,phi}

Betrachten wir weiterhin eine Kreisbahn um das Gravitationszentrum, die
in der Äquatorebene liege. Es gilt somit r = r0 = const, theta = pi/2.
Betrachten wir ferner von der Geodàtengleichung die Komponente mu=r.
Dann gilt:

d^2 r / ds^2 + Gamma^r_tt (dt/ds)^2 + Gamma^r_rr (dr/ds)^2
+ Gamma^r_{theta,theta} (d(theta)/ds)^2
+ Gamma^r_{phi,phi} (d(phi)/ds)^2 = 0

Da r und theta konstant sind, gilt

d^2 r / ds^2 = 0
dr/ds = 0
d(theta)/ds = 0

so dass sich die Gleichung zu

Gamma^r_tt (dt/ds)^2 + Gamma^r_{phi,phi} (d(phi)/ds)^2 = 0

vereinfacht. Mit

Gamma^r_tt = rs(r - rs) / (2r^3)
Gamma^r_{phi,phi} = -(r - rs) sin(theta)^2 = -(r - rs)

wobei wir sin(theta) = sin(pi/2) = 1 benutzt haben, gilt

[rs(r - rs) / (2r^3)] (dt/ds)^2 - (r - rs) (d(phi)/ds) = 0

Durch Multiplikation mit r^2 / (r - rs) wird daraus

(rs / (2r)) (dt/ds)^2 - r^2 (d(phi)/ds)^2 = 0 (1)

Wenn wir zunàchst den Fall nichtrelativistischer Bahngeschwindigkeiten,

r d(phi)/ds << 1

betrachten, so sind wir bereits fertig: dt/ds ist dann nahezu unabhàngig
von der Bahngeschwindigkeit, und somit bestimmt allein die Größe r
d(phi)/ds, also die Bahngeschwindigkeit, darüber, ob die
Geodàtengleichung erfüllt wird: die Kreisbahn muss mit einer ganz
bestimmten Bahngeschwindigkeit durchlaufen werden, nur dann ist die
resultierende Weltlinie eine Geodàte, für andere Bahngeschwindigkeiten
wird die Geodàtengleichung nicht erfüllt. Meine damalige Aussage, der
Albinger/Roalto widersprochen hat, ist somit für den
nichtrelativistischen Fall bewiesen.

Das ganze làsst sich aber auch auf den Fall relativistischer
Bahngeschwindigkeiten ausweiten. Sei

u^mu = (u^t, 0, 0, u^phi) = (dt/ds, 0, 0, d(phi)/ds)

die Vierergeschwindigkeit, so gilt

u^mu u_mu = u^mu g_{mu,nu} u^nu = -1

<=> g_tt (u^t)^2 + g_{phi,phi} (u^phi)^2 = -1

<=> -1(1 - rs/r) (u^t)^2 + r^2 sin(theta)^2 (u^phi)^2 = -1

Setzen wir wieder sin(theta) = sin(pi/2) = 1 sein, und stellen nach
(u^t)^2 um, so ergibt sich

(u^t)^2 = (1 + (r u^phi)^2) / (1 - rs/r)

Setzen wir dies in (1) ein, so erhalten wir

rs(1 + (r u^phi)^2) / [2r (1 - rs/r)] - (r u^phi)^2 = 0

<=> rs(1 + (r u^phi)^2) / [2 (r - rs)] - (r u^phi)^2 = 0

Durch Multiplikation mit 2(r - rs) erhàlt man daraus schließlich

rs + rs (r u^phi)^2) - 2(r - rs)(r u^phi)^2 = 0

<=> rs + (3rs - 2r) (r u^phi)^2 = 0

Auch diese Gleichung wird nur für eine ganz bestimmte
Bahngeschwindigkeit r u^phi erfüllt, es gilt also auch hier, im
relativistischen Fall, wieder: es hàngt von der Bahngeschwindigkeit, mit
der die Kreisbahn durchlaufen wird, ab, ob die resultierende Weltlinie
eine Geodàte ist.

Q.E.D.
 

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#1 Peter Kramer
02/06/2015 - 06:57 | Warnen spam
Gregor Scholten wrote in
news:mkim8g$cc8$:

Hallo zusammen,

Vor vielen Jahren hatte ich hier mal eine Diskussion mit Rolf Albinger
(oder Roalto, wie er sich neuerdings nennt) darüberber, ob die
Bahnkurve

x^i(s) i=1,2,3

eines Teilchens im Raum automatisch eine Geodàtete ist, wenn die
Weltlinie

x^mu(s) = (x^0(s), x^i(s)) mu=0,1,2,3

in der Raumzeit eine Geodà¤te ist. Mein damalige Position war (und ist
noch immer), dass sie das nicht ist.



Ganz offensichtlich, da x^i(s) schon von der Definition her keine
Geodàte ist. Mehr Mathematik braucht es nicht. Es wàre dann eine Geodàte
wenn die Zeit kein Parameter wàre.

Damals verfügte ich nicht über die nötigen mathematisch Kenntnisse, um
meinen Standpunkt streng mathematisch zu begründen,



Also schlichtweg Unfàhigkeit, nicht Weigerung.

Mittlerweile habe ich mir die nötigen mathematischen Kenntnisse jedoch
angeeignet,



Was hat dich Dummerchen zu so einer falschen Schlussfolgerung geführt?

und daher will ich nunmehr die mir damals nicht mögliche mathematische
Beweisführung nachholen. Here we go:

Bekanntlich lautet die Geodàtengleichung für Weltlinien, wenn s der
Bahnparameter ist:

d^2 x^mu / ds^2 + + Gamma^mu_{alpha,beta} (dx^alpha / ds) (dx^beta /
ds) = 0

Betrachten wir im speziellen die Schwarzschildmetrik,



Geodàten gelten allgemein für die Raumzeit. Deine spezielle Betrachtung
kann daher nichts beweisen. Vor allem aber ist es eine diletantische
Herangehensweise. Es geht eher darum das bestimmte Prinzipien eingehalten
werden müssen damit eine Bahn eine Geodàte der Raumzeit ist. Mehr enthàlt
die Geodàtengöeichung auch nicht. Sie beschreibt keine konkrete Bahn,
sondern leicglich die zu erfüllenden Bedingungen.



Prinzip der extremalen Wirkung, was immer auf das Prinzip der minimalen
Wirkung hinauslàuft = Variation der Wirkung entlang der Bahn gleich Null.



Das müsstest du beweisen oder widerlegen, ob für gegebene Gleichung diese
erfüllt sind.



Deine primitive mathematische Beweisführung, beweist lediglich dass du
auch heute nicht über das nötige mathematische Verstàndnis der ART
verfügst.

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