Banach-Tarski mit zusammenhaengenden Mengen

27/01/2009 - 11:19 von fiesh | Report spam
Hallo,

gestern stellte sich mir und ein paar Freunden die Frage, ob auch eine
Version vom Banach-Tarski Paradox gilt, bei dem zusaetzlich gefordert
wird, dass die endlich vielen Stuecke der Zerlegung zusaetzlich die
Eigenschaft haben, dass sie zusammenhaengend sind.

Wir haben nicht allzu lange ueberlegt, also kann es durchaus ein
einfaches Argument geben, warum das nicht gehen kann. Der
urspruengliche Beweis von Banach-Tarski funktioniert jedenfalls nicht
ohne weiteres, er baut auf dem Hausdorff Paradoxon auf, dessen Beweis ja
schon nicht mehr so fuer zusammenhaengende Mengen funktioniert.

Vielleicht hat hier jemand eine Idee?

fiesh
 

Lesen sie die antworten

#1 Martin Vaeth
27/01/2009 - 13:35 | Warnen spam
fiesh wrote:

gestern stellte sich mir und ein paar Freunden die Frage, ob auch eine
Version vom Banach-Tarski Paradox gilt, bei dem zusaetzlich gefordert
wird, dass die endlich vielen Stuecke der Zerlegung zusaetzlich die
Eigenschaft haben, dass sie zusammenhaengend sind.



In dem exzellenten Buch von Stan Wagon wird die Frage nicht erwaehnt (IIRC),
so dass anzunehmen ist, dass noch nichts darueber bekannt ist.
Ich sehe aber nichts, was dagegen spricht: Seit bekannt ist, dass man die
Teile so waehlen kann, dass sie die Baire-Eigenschaft haben (was mich
sehr ueberrascht hat), tendiere ich in solchen Fragen inzwischen immer
zur positiven Antwort. Ich sehe nicht, ob die Teile bei dieser verfeinerten
Konstruktion zusammenhaengend sind (oder zumindest nur in endlich viele
Komponenten zerfallen) - m.E. ist das durchaus moeglich.

Ähnliche fragen