Banachscher Fixpunktsatz

29/09/2008 - 20:48 von Juliane | Report spam
Hallo,

kann mir jemand (relativ leicht verstàndlich) in Worten, die BeweisIdee
dieses Satzes geben? Die Eindeutigkeit ist klar.
Aber zur Existenz?
Also man nimmt sich ja eine Folge und zeigt bei dieser, dass es sich um
eine Cauchyfolge handelt...
Und dann noch irgendwie, dass der Fixpunkt (nennen wir ihn x0) ein
Grenzwert und Tx0 (also seine Abbildung) auch. Somit ist x0=Tx0, da ja
GW eindeutig bestimmt...aber so richtig...???

Kann mir jemand helfen?
 

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#1 mathemator
29/09/2008 - 22:43 | Warnen spam
Juliane wrote:

Hallo,

kann mir jemand (relativ leicht verstàndlich) in Worten, die BeweisIdee
dieses Satzes geben? Die Eindeutigkeit ist klar.
Aber zur Existenz?
Also man nimmt sich ja eine Folge und zeigt bei dieser, dass es sich um
eine Cauchyfolge handelt...
Und dann noch irgendwie, dass der Fixpunkt (nennen wir ihn x0) ein
Grenzwert und Tx0 (also seine Abbildung) auch. Somit ist x0=Tx0, da ja
GW eindeutig bestimmt...aber so richtig...???

Kann mir jemand helfen?



Hallo Juliane,

der Banachraum sichert, dass jede Cauchyfolge konvergent ist. Damit -
und mit dem Majorantenkriterium - zeigt man, dass für die kontrahierende
Abbildung T die Folge (x_n) mit beliebigem x_0 und x_n+1 := Tx_n
konvergiert. Du hast den Grenzwert x_0 genannt. Da (Tx_n) eine Teilfolge
von (x_n) ist, hat sie sie den gleichen Grenzwert, also auch x_0.
|Tx_0 - x_n+1| = |Tx_0 - Tx_n| <= L |x_0 - x_n| . Da (x_n) gegen x_0
konvergiert, muss also Tx_0 = x_0 sein.

Klaus-R.

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