Bedeutung in der Mathematik

13/02/2010 - 15:49 von Albrecht | Report spam
Die axiomatische Mengenlehre, ja jede rein axiomatische Methode,
entblößt die Mathematik jeglicher Bedeutung.

Bekanntlich kann ein Computer (potentiell) jeglichen wohlgeformten Satz,
jedes Theorem eines wohlgebildeten Axiomensystems aufzàhlen. Allerdings
kann der Computer für keines dieser Theoreme angeben, ob dieses eine
Bedeutung besitzt oder nicht. Ob es sich also lohnen würde, sich weiter
mit einem bestimmten Theorem auseinanderzusetzen oder nicht. Die
Axiomatik gibt nichts weiter als eine unedliche Menge von beliebig
komplexen Sàtzen vor, die alle gültige Theoreme dieser Axiomatik
umfasst. Jedes dieser Theoreme ist gleich wichtig oder gleich unwichtig.

Jedes dieser Theoreme ist bedeutungslos solange es nicht interpretiert
wird. Die Axiomatik bietet keine Kriterien für eine Interpretation.

Ob das Theorem den Riemanschen Satz oder die Tatsache, dass ein Ergebnis
um 1 größer ist als die Ausgangszahl bevor 1 addiert wurde, formuliert,
beide Theoreme sind in ZF oder einem anderen axiomatischen System, in
dem sie formuliert werden können, gleichwertig, uniform, möglicherweise
gleich komplex, möglicherweise aus gleichvielen Symbolen gebildet,
möglicherweise strukturell àhnlich. Es làsst sich kein Hinweis ableiten,
der etwas über die Bedeutung des Theorems aussagen würde.

Genau dies hat Hilbert auch mit seiner Mathematik der Tisch, Stühle und
Bierseidel bezweckt. Aber jeder wird leicht einsehen können, dass eine
solche Mathematik der bedeutungslosen Theoreme zu nichts führt. Es làsst
sich kein Hinweis darauf finden, wie man von einem Theorem zum nàchsten
schreiten sollte (welcher Pfad in dem Theoremengeflecht verfolgt werden
sollte), welche Folgerung spannend wàre und welche in Trivialitàt
ausartet.
Ein nur mit axiomatisch formulierten Theoremen befasster Mathematiker,
möglicherweise noch mit einem maschinengestützen Beweiser ausgestattet,
wird nie eine Erkenntnis vorweisen können, die über das Bekannte
hinausgeht und für ein größeres Feld der Mathematik auch nur màßig
wichtig wàre.
Eine Axiomatik kann damit immer nur einer Mathematik der Bedeutung
folgen, nicht vorausgehen. Sinnvolle Mathematik kann nur entwickelt
werden indem in sie Bedeutungen hineingelegt werden.

Gruß
Albrecht
 

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#1 Rainer Urian
13/02/2010 - 17:10 | Warnen spam
... und welcher Computer berechnet jetzt die Frage zu deiner Antwort :-) ?

Rainer

"Albrecht" schrieb im Newsbeitrag
news:


Die axiomatische Mengenlehre, ja jede rein axiomatische Methode,
entblößt die Mathematik jeglicher Bedeutung.

Bekanntlich kann ein Computer (potentiell) jeglichen wohlgeformten Satz,
jedes Theorem eines wohlgebildeten Axiomensystems aufzàhlen. Allerdings
kann der Computer für keines dieser Theoreme angeben, ob dieses eine
Bedeutung besitzt oder nicht. Ob es sich also lohnen würde, sich weiter
mit einem bestimmten Theorem auseinanderzusetzen oder nicht. Die
Axiomatik gibt nichts weiter als eine unedliche Menge von beliebig
komplexen Sàtzen vor, die alle gültige Theoreme dieser Axiomatik
umfasst. Jedes dieser Theoreme ist gleich wichtig oder gleich unwichtig.

Jedes dieser Theoreme ist bedeutungslos solange es nicht interpretiert
wird. Die Axiomatik bietet keine Kriterien für eine Interpretation.

Ob das Theorem den Riemanschen Satz oder die Tatsache, dass ein Ergebnis
um 1 größer ist als die Ausgangszahl bevor 1 addiert wurde, formuliert,
beide Theoreme sind in ZF oder einem anderen axiomatischen System, in
dem sie formuliert werden können, gleichwertig, uniform, möglicherweise
gleich komplex, möglicherweise aus gleichvielen Symbolen gebildet,
möglicherweise strukturell àhnlich. Es làsst sich kein Hinweis ableiten,
der etwas über die Bedeutung des Theorems aussagen würde.

Genau dies hat Hilbert auch mit seiner Mathematik der Tisch, Stühle und
Bierseidel bezweckt. Aber jeder wird leicht einsehen können, dass eine
solche Mathematik der bedeutungslosen Theoreme zu nichts führt. Es làsst
sich kein Hinweis darauf finden, wie man von einem Theorem zum nàchsten
schreiten sollte (welcher Pfad in dem Theoremengeflecht verfolgt werden
sollte), welche Folgerung spannend wàre und welche in Trivialitàt
ausartet.
Ein nur mit axiomatisch formulierten Theoremen befasster Mathematiker,
möglicherweise noch mit einem maschinengestützen Beweiser ausgestattet,
wird nie eine Erkenntnis vorweisen können, die über das Bekannte
hinausgeht und für ein größeres Feld der Mathematik auch nur màßig
wichtig wàre.
Eine Axiomatik kann damit immer nur einer Mathematik der Bedeutung
folgen, nicht vorausgehen. Sinnvolle Mathematik kann nur entwickelt
werden indem in sie Bedeutungen hineingelegt werden.

Gruß
Albrecht

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