bedingter Erwartungswert

10/06/2010 - 13:11 von Thomas Esch | Report spam
Hallo,
ich benötige eine möglichst geschlossen Lösung für folgenden bedingten
Erwartungswert:

E{ a(k-1) | c(k) } = E{ a(k-1) | a(k)+b(k) }

mit folgenden Eigenschaften:

k - diskreter Index
a - diskrete Folge, Gamma-verteilt, mittelwertfrei,
E{a(k)^2}=sig_a^2;E{a(k)*a(k-1)}=sig_{a12}^2
b - diskrete Folge, Gauss-verteilt, mittelwertfrei, Varianz: sig_b^2
a und b sind statistisch unabhàngig

Mein bisheriger Ansatz sieht wie folgt aus:

inf p( a(k)+b(k) | a(k-1) ) * p( a(k-1) )
E{ a(k-1)|c(k) } = I - d a(k-1)
-inf p( c(k) )

Dabei gilt: p( a(k)+b(k)|a(k-1) ) = p( a(k)|a(k-1) x p( b(k) ), wobei
'x' eine Faltung darstellen soll.

Wenn ich damit p( a(k)+b(k)|a(k-1) ) berechne, erhalte ich eine
"unschöne" parabolische Zylinderfunktion in der Lösung, welche danach
(eingesetzt in obige Gleichung) dann nochmal integriert werden muss.


Falls a Gauss-verteilt ist, erhàlt man folgende schöne Lösung:

sig_{a12}^2
E{ a(k-1) | c(k) } = * c(k)
sig_a^2 + sig_b^2


welche sich schreiben làßt als

E{ a(k) | c(k) } * E{ a(k)*a(k-1) }
E{ a(k-1) | c(k) } = --
E{ a(k)^2 }


Ich vermute aber mal, dass die letzte Gleichung nur gilt, falls a und b
Gauss-verteilt sind.

Vielleicht kann mir ja jemand im Gamma-Fall weiterhelfen,
Gruß Thomas
 

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#1 Thomas Esch
10/06/2010 - 16:56 | Warnen spam
Thomas Esch wrote:

Mein bisheriger Ansatz sieht wie folgt aus:

inf p( a(k)+b(k) | a(k-1) ) * p( a(k-1) )
E{ a(k-1)|c(k) } = I - d a(k-1)
-inf p( c(k) )





Ich meinte natürlich:

inf p( a(k)+b(k)|a(k-1) ) * p( a(k-1) )
E{a(k-1)|c(k)}=I a(k-1)*- d a(k-1)
-inf p( c(k) )

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