Begriffswirrwarr um Lorentz-Transformation

25/10/2007 - 17:03 von Steffen Krause | Report spam
Hallo!

In meinem Kopf herrscht nach der Konsultation verschiedener Lehr-
bücher großes Wirrwarr um den Begriff der Lorentz-Transformation.

Wie lautet die allgemeinstmögliche Definition? Gelesen habe ich
schon vieles:

- Transformation zwischen zueinander geradlinig-gleichförmig be-
wegten Bezugssystemen
- Làßt Làngenquadrat eines jeden Vierervektors invariant
- Definitionsgleichung L^T g L = g (wo L die Matrix der LT be-
zeichnen soll, g die Metrik)
- Direkte Transformationsvorschrift: x'^µ = L^µ_nu x^nu + a^µ,
wobei a eine Translation darstellen soll (obwohl ich wiederum
anderswo gelesen habe, daß Translationen bei der LT nicht be-
rücksichtigt werden)
- ...

Was davon ist eine Folge von einem der anderen Punkte, und was
kann man für eine saubere Definition an den Anfang stellen? Ist
einer dieser Punkte für sich allein genommen schon eine eindeu-
tige Defnition? Wie ist sieht das gruppentheoretisch aus?

Außerdem habe ich noch eine Frage zur Analogie zwischen Drehungen
im Dreidimensionalen und der LT, wenn man sie als Drehung im hy-
perbolischen (ct,x,y,z)-Raum auffaßt. Wie kann man sich diese
Analogie formal überlegen? Wie die "klassischen" Drehmatrizen
aussehen, ist mir klar, aber wie kommt man dann zu den Ausdrücken
in sinh(phi), cosh(phi) etc.? Es geht mir wirklich "nur" um das
Formale - daß klassische Drehungen die Lànge von 3er-Vektoren in-
variant lassen, wàhrend LTs die Lànge von 4er-Vektoren invariant
lassen, ist mir klar. :-)

Vorab schon mal ein großes Dankeschön!!!

Steffen
 

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#1 Hendrik van Hees
26/10/2007 - 05:37 | Warnen spam
Steffen Krause wrote:

Hallo!

In meinem Kopf herrscht nach der Konsultation verschiedener Lehr-
bücher großes Wirrwarr um den Begriff der Lorentz-Transformation.



Ein neues Opfer vom Nolting?

Wie lautet die allgemeinstmögliche Definition? Gelesen habe ich
schon vieles:

- Transformation zwischen zueinander geradlinig-gleichförmig be-
wegten Bezugssystemen



Das sind genauer gesagt die eigentlich orthochronen
Lorentztransformationen. Der Satz ist im Rahmen der speziellen
Relativitàtstheorie sicherlich eine korrekte Definition dessen, was
Lorentztransformationen physikalisch bedeuten. Für die Newtonsche
Physik kannst Du statt Lorentztransformation Galileitransformation
schreiben, und es stimmt auch.

- Làßt Làngenquadrat eines jeden Vierervektors invariant



Sie làßt die Bilinearform der Signatur (1,3) invariant. Es handelt sich
nicht um Làngen, weil diese Bilinearform nicht positiv definit ist. Es
gibt zeit-, licht- und raumartige Vektoren je nachdem ob die
Fundamentalform x.x>0, =0, <0 ist. Insbesondere folgt aus x.x=0 *nicht*
x=0.

- Definitionsgleichung L^T g L = g (wo L die Matrix der LT be-
zeichnen soll, g die Metrik)



Das folgt aus der vorigen Aussage.

- Direkte Transformationsvorschrift: x'^µ = L^µ_nu x^nu + a^µ,
wobei a eine Translation darstellen soll (obwohl ich wiederum
anderswo gelesen habe, daß Translationen bei der LT nicht be-
rücksichtigt werden)



Das ist genauer gesagt eine inhomogene Lorentztransformation. Die
homogenen Lorentztransformationen bilden eine Gruppe, die
Lorentzgruppe. Die Translationen auch, und wenn Du die
Translationsgruppe semidirekt mit der Lorentzgruppe multiplizierst,
ergibt sich daraus die Symmetriegruppe des Minkowskiraums (als affiner
Raum aufgefaßt), die man Poincaregruppe nennt.
- ...

Was davon ist eine Folge von einem der anderen Punkte, und was
kann man für eine saubere Definition an den Anfang stellen? Ist
einer dieser Punkte für sich allein genommen schon eine eindeu-
tige Defnition? Wie ist sieht das gruppentheoretisch aus?



Die von mir favorisierte Darstellungen findest Du hier:

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/cosmo/node3.html

Außerdem habe ich noch eine Frage zur Analogie zwischen Drehungen
im Dreidimensionalen und der LT, wenn man sie als Drehung im hy-
perbolischen (ct,x,y,z)-Raum auffaßt. Wie kann man sich diese
Analogie formal überlegen? Wie die "klassischen" Drehmatrizen
aussehen, ist mir klar, aber wie kommt man dann zu den Ausdrücken
in sinh(phi), cosh(phi) etc.? Es geht mir wirklich "nur" um das
Formale - daß klassische Drehungen die Lànge von 3er-Vektoren in-
variant lassen, wàhrend LTs die Lànge von 4er-Vektoren invariant
lassen, ist mir klar. :-)



Siehe das og. FAQ-Skript.

Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:

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