Begründung von einzigem Extremwert

23/05/2009 - 01:36 von christian-usenet | Report spam
Moin,
mir ist gerade folgende Funktion zugelaufen: f(x) = (0.5*x^3 +a)/x
wobei x und a != 0 sind.
Nun soll gezeigt werden, dass der Graph von f genau einen Extrempunkt
hat und die Art unabhàngig von a ist:
Über die Ableitung (x^3 -a)/x^2 bekommt man die Nullstellengleichung
x^3 -a = 0.
Das entspràche dann: x = sgn(a) * (sgn(a)*a)^1/3
Da das eine x^3-Funktion um k nach unten verschoben ist, gibt es nur
eine Nullstelle, somit nur einen Extrempunkt.
In der zweiten Ableitung (x^3 + 2a)/x^3 ist eine x^3-Funktion nach
oben verschoben, somit ist die Nullstelle der zweiten Ableitung vor
der Nullstelle der 1. Ableitung für x-> infty und daraus folgt dann,
dass die 2. Ableitung positiv bei der NST der 1. Ableitung sein muss
und da a die Verschiebung der x^3-Funktionen ist, würde es beide bei
einer Änderung um den gleichen Abstand in entgegengesetzter Richtung
verschieben.

Doch eigentlich müsste sich die Tatsache, dass es nur einen
Extrempunkt gibt und dieser von a unabhàngig ist auch über die
Vielfachheit der Nullstellen und dem damit verbundenem VZW (also ohne
2. Ableitung) erklàren lassen, aber wie làsst sich das mathematisch
exakt zeigen?
 

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#1 mathemator
23/05/2009 - 08:13 | Warnen spam
wrote:

Moin,
mir ist gerade folgende Funktion zugelaufen: f(x) = (0.5*x^3 +a)/x
wobei x und a != 0 sind.
Nun soll gezeigt werden, dass der Graph von f genau einen Extrempunkt
hat und die Art unabhàngig von a ist:
Über die Ableitung (x^3 -a)/x^2 bekommt man die Nullstellengleichung
x^3 -a = 0.
Das entspràche dann: x = sgn(a) * (sgn(a)*a)^1/3
Da das eine x^3-Funktion um k nach unten verschoben ist, gibt es nur
eine Nullstelle, somit nur einen Extrempunkt.
In der zweiten Ableitung (x^3 + 2a)/x^3 ist eine x^3-Funktion nach
oben verschoben, somit ist die Nullstelle der zweiten Ableitung vor
der Nullstelle der 1. Ableitung für x-> infty und daraus folgt dann,
dass die 2. Ableitung positiv bei der NST der 1. Ableitung sein muss
und da a die Verschiebung der x^3-Funktionen ist, würde es beide bei
einer Änderung um den gleichen Abstand in entgegengesetzter Richtung
verschieben.

Doch eigentlich müsste sich die Tatsache, dass es nur einen
Extrempunkt gibt und dieser von a unabhàngig ist auch über die
Vielfachheit der Nullstellen und dem damit verbundenem VZW (also ohne
2. Ableitung) erklàren lassen, aber wie làsst sich das mathematisch
exakt zeigen?



Aus der ersten Ableitung ist doch nicht nur die Nullstelle abzulesen,
man sieht auch, dass f' an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel von
negativ zu positiv hat.

Klaus-R.

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