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Vielteilchentheorie
C. Timm
Technische Universitàt Dresden, Institut für Theoretische Physik
Satz: K. Schmidt
Wintersemester 2008/2009
Stand 23. Februar 2010Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 4
1.1 Wozu Vielteilchentheorie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Vielteilchensysteme und Emergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Quantenfeldtheorie 7
2.1 Lineare Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Quantenmechanik der linearen Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Erste Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Einteilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Vielteilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 Ununterscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Zweite Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Operatoren in zweiter Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Quantenfeldoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.5 Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Relativistisches skalares Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Quantisierung des relativistischen skalaren Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Komplexes skalares Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Feynman-Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 φ
4
-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9 Dirac-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9.1 Erinnerung an die Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9.2 Dirac-Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9.3 Feynman-Propagator für das Dirac-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10 Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10.1 Viervektor-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.10.2 Quantentheorie des Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.10.3 Transversaler Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.10.4 Impuls und Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.11 Quantenelektrodynamik (QED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.11.1 Kopplung an geladene Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Vielteilchentheorie bei T = 0 49
3.1 Wechselwirkungsfreie Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Elektron-Elektron-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Störungstheorie für die Coulomb-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Gitterschwingungen und Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Elektron-Phonon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Zeitabhàngige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13.5.1 Bildwechsel in der Quantentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.2 Fermis Goldene Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.3 Die T-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6 Green-Funktionen bei T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.1 Green-Funktion für die Einteilchen-Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6.2 Einteilchen-Green-Funktionen für das Vielteilchensystem . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6.3 Spektralfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.7 Bewegungsgleichung für die Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7.1 Wechselwirkungsfreier Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.2 Resonantes Niveau (resonant-level model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7.3 Anderson-Modell für magnetische Störstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 Vielteilchentheorie bei T > 0 91
4.1 Wechselwirkungsfreie Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Mean-Field-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1 Hartree-Fock-Nàherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.2 Stoner-Theorie des Ferromagnetismus in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3 Lineare-Antwort-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.1 Kubo-Formel für die dielektrische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.2 Bewegungsgleichung für Lineare-Antwort-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Matsubara-Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.1 Imaginàre-Zeit-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.2 Einteilchen-Matsubara-Green-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4.3 Rechnungen mit Matsubara-Green-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
(a) Isolierte Singularitàten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
(b) Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4.4 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5 Wicks Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6 Potential-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6.1 Feynman-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.6.2 Elastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6.3 Störstellen-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6.4 Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6.5 Erste Bornsche Nàherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
(a) Die volle Bornsche Nàherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
(b) Die selbstkonsistente Bornsche Nàherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.7 Elektron-Elektron-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.7.1 Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.7.2 Die Hartree-Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.7.3 Die Fock-Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.8 Das wechselwirkende Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.9 Landau-Theorie der Fermi-Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.10 Elektron-Phonon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.10.1 Einschub: Jellium-Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.10.2 Coulomb- und Elektron-Phonon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.10.3 Abschirmung der effektiven Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.11 Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.11.1 Cooper-Instabilitàt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.11.2 Der BCS-Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.11.3 BCS-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
25 Statistische Physik im Nichtgleichgewicht 155
5.1 Elektronischer Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.1.1 Lineare-Antwort-Theorie für die Leitfàhigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.1.2 Anwendung: Störstellenstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.2 Brownsche Bewegung und Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3 Die Langevin-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4 Die Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.4.1 Relaxationszeitansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.4.2 Wigner-Funktion und Quanten-Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A Literatur 168
 

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#1 Gregor Scholten
05/02/2013 - 22:48 | Warnen spam
Am Dienstag, 5. Februar 2013 21:58:56 UTC+1 schrieb D Orbital:
Vielteilchentheorie



ich habe was gelernt. Viel Teilchentheorie braucht man, weil es es über Teilchen eben viel Theorie gibt.

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